Классификация моделей
Единая классификация видов моделей затруднительна в силу многозначности понятия "модель" в науке и технике. Её можно проводить по различным основаниям: по характеру моделей (т. е. по средствам моделирования); по характеру моделируемых объектов; по сферам приложения моделей (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.) и его уровням ("глубине"), начиная, например, с выделения в физике моделей на микроуровне (моделирование на уровнях исследования, касающихся элементарных частиц, атомов, молекул). В связи с этим любая классификация методов моделирования обречена на неполноту, тем более, что терминология в этой области опирается не столько на "строгие" правила, сколько на языковые, научные и практические традиции, а ещё чаще определяется в рамках конкретного контекста и вне его никакого стандартного значения не имеет. Я постаралась представить наиболее полную классификацию моделей по их признакам с моей точки зрения.
Признаки классификаций моделей:
1. По области использования;
2. По фактору времени;
3. По отрасли знаний;
4. По форме представления.
Классификация моделей по области использования:
1) Учебные модели - используются при обучении. Это могут быть наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы.
2) Опытные модели - это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик. Например, модель корабля исследуется в бассейне для изучения устойчивости судна при качке, модель автомобиля «продувается» в аэродинамической трубе с целью исследования обтекаемости кузова, модель сооружения используется для привязки здания к конкретной местности и т.д.
3) Научно - технические модели - создаются для исследования процессов и явлений. К таким моделям можно отнести, например, прибор для получения грозового электрического разряда или стенд для проверки телевизоров.
4) Игровые модели - это военные, экономические, спортивные, деловые игры. Эти модели как бы репетируют поведение объекта в различных ситуациях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника. С помощью игровых моделей можно оказывать психологическую помощь больным, разрешать конфликтные ситуации.
5) Имитационные модели - не только отражают реальность с той или иной степенью точности, а имитируют ее. Эксперименты с моделями проводят при разных исходных данных. По результатам исследования делаются выводы. Такой метод подбора правильного решения получил название метод проб и ошибок. Например, для выявления побочных действий лекарственных препаратов их испытывают в серии опытов над животными.
Классификация моделей по фактору времени:
1) Статические - модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Например, обследование учащихся в стоматологической поликлинике дает состояние их зубов в данный момент времени: соотношение молочных и постоянных, наличие пломб, дефектов и т.п.
2) Динамические - модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.
При строительстве дома рассчитывают прочность его фундамента, стен, балок и устойчивость их к постоянной нагрузке. Это статическая модель здания. Но надо так же обеспечить противодействие ветрам, движению грунтовых вод, сейсмическим колебаниям и другим изменяющимся во времени факторам. Эти вопросы можно решить с помощью динамических моделей. Таким образом, один и тот же объект можно охарактеризовать и статической и динамической моделью.
Классификация моделей по отрасли знаний:
Это классификация по отрасли деятельности человека:
1) Математические;
2) Биологические;
3) Химические;
4) Социальные;
5) Экономические;
6) Исторические и т.д.
Классификация моделей по форме представления:
1) Материальные - это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты.
2) Абстрактные (нематериальные) - не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. Это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают: мысленные, вербальные и информационные.
ь Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель способствует сознательной деятельности человека. Примером мысленной модели является модель поведения при переходе через дорогу. Человек анализирует ситуацию на дороге (какой сигнал подает светофор, как далеко находятся машины, с какой скоростью они движутся и т.п.) и вырабатывается модель поведения. Если ситуация смоделирована правильно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти дорожно-транспортное происшествие.
ь Вербальные (от лат. Verbalis - устный) - мысленные модели, выраженные в разговорной форме. Используется для передачи мыслей.
Чтобы информацию можно было использовать для обработки на компьютере, необходимо выразить ее при помощи системы знаков, т.е. формализовать. Правила формализации должны быть известны и понятны тому, кто будет создавать и использовать модель. Для этого используют более строгие модели - информационные.
ь Информационные модели - целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта.
Типы информационных моделей:
· Табличные - объекты и их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной формы. Перечень однотипных объектов размещен в первом столбце (или строке), а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (или строках)
· Иерархические - объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня
· Сетевые - применяют для отражения систем, в которых связи между элементами имеют сложную структуру
По степени формализации информационные модели бывают образно-знаковые и знаковые. Ярким примером образно-знаковой модели является географическая карта. Цвет и форма материков, океанов, гор, изображенных на карте, сразу подключает образное мышление. По цвету на карте сразу можно оценить рельеф. Например, с голубым цветом у человека ассоциируется вода, с зеленым цветущий луг, равнина. Карта изобилует условными обозначениями. Зная этот язык, человек может получить достоверную информацию об интересующем его объекте. Информационная модель в этом случае будет результатом осмысления сведений, полученных при помощи органов чувств и информации, закодированной в виде условных изображений.
То же можно сказать о живописи. Неискушенный зритель воспримет картину душой в виде образной модели. Но существуют художественные языки, соответствующие различным живописным жанрам и школам: сочетание цветов, характер мазка, способы передачи воздуха, объема и т. д. Человеку, знающему эти условности, легче разобраться в том, что имел в виду художник, особенно если произведение не относится к реализму. При этом общее восприятие картины (информационная модель) станет результатом осмысления информации как в образной, так и в знаковой формах.
Еще один пример такой модели -- фотография. Фотоаппарат позволяет получить изображение оригинала. Обычно фотография дает нам довольно точное представление о внешнем облике человека. Существуют некоторые признаки (высота лба, посадка глаз, форма подбородка), по которым специалисты могут определить характер человека, его склонность к тем или иным поступкам. Этот специальный язык формируется из сведений, накопленных в области физиогномики и собственного опыта. Знающие врачи, взглянув на фото незнакомого человека, увидят признаки некоторых заболеваний. Задавшись разными целями, по одной и той же фотографии можно получить различные информационные модели. Они будут результатом обработки образной информации, полученной при разглядывании фотографии, и информации, сложившейся на основе знания специального профессионального языка.
По форме представления образно-знаковых моделей среди них можно выделить следующие группы:
Геометрические модели, отображающие внешний вид оригинала (рисунок, пиктограмма, чертеж, план, карта, объемное изображение);
Структурные модели, отражающие строение объектов и связи их параметров (таблица, граф, схема, диаграмма);
Словесные модели, зафиксированные (описанные) средствами естественного языка;
Знаковые модели можно разделить на следующие группы:
· Математические модели, представленные математическими формулами, отображающими связь различных параметров объекта, системы или процесса;
· Специальные модели, представленные на специальных языках (ноты, химические формулы и т. п.);
· Алгоритмические модели, представляющие процесс в виде программы, записанной на специальном языке.
Модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Модель - создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.
Моделирование – процесс создания и использования модели.
Цели моделирования
- Познание действительности
- Проведение экспериментов
- Проектирование и управление
- Прогнозирование поведения объектов
- Тренировка и обучения специалистов
- Обработка информации
Классификация по форме представления
- Материальные
- воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты, модели автомобилей и самолетов и прочее).
- a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);
- b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);
- c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).
- Информационные
- совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также их взаимосвязь с внешним миром).
- 2.1. Вербальные - словесное описание на естественном языке).
- 2.2. Знаковые
- информационная модель, выраженная специальными знаками (средствами любого формального языка).
- 2.2.1. Математические - математическое описание соотношений между количественными характеристиками объекта моделирования.
- 2.2.2. Графические - карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы, графы систем.
- 2.2.3. Табличные - таблицы: объект-свойство, объект-объект, двоичные матрицы и так далее.
- Идеальные
– материальная точка, абсолютно твердое тело, математический маятник, идеальный газ, бесконечность, геометрическая точка и прочее...
- 3.1. Неформализованные модели - системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу.
- 3.2. Частично формализованные
.
- 3.2.1. Вербальные - описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента).
- 3.2.2. Графические иконические - черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты).
- 3.2.3. Графические условные - данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем.
- 3.3. Вполне формализованные (математические) модели.
Свойства моделей
- Конечность : модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
- Упрощенность : модель отображает только существенные стороны объекта;
- Приблизительность : действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
- Адекватность : насколько успешно модель описывает моделируемую систему;
- Информативность : модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модел;
- Потенциальность : предсказуемость модели и её свойств;
- Сложность : удобство её использования;
- Полнота : учтены все необходимые свойства;
- Адаптивность .
- Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.
- Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.
- Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.
- Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.
- Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.
- Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук. В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.
Признаки, по которым классифицируются модели:
1. Область использования.
2. Учет фактора времени и области использования.
3. По способу представления.
4. Отрасль знаний (биологические, исторические, социологические и т. д.).
Рассмотрим три первые классификации моделей в соответствии с их классификационными признаками.
1 классификация - по признаку « Область использования»
1.1. Учебные: наглядные пособия, обучающие программы, различные тренажеры;
1.2. Опытные: модель корабля испытывается в бассейне для определения устойчивости судна при качке;
1.3. Научно-технические: ускоритель электронов, прибор, имитирующий разряд молнии, стенд для проверки телевизора;
1.4. Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры;
1.5. Имитационные: эксперимент либо многократно повторяется, чтобы изучить и оценить последствия каких либо действий на реальную обстановку, либо проводится одновременно со многими другими похожими объектами, но поставленными в разных условиях).
2 классификация - по признаку «Учет фактора времени и области использования»
2.1. Статистическая модель – это как бы одномоментный срез по объекту.
Пример: Вы пришли в стоматологическую поликлинику для осмотра полости рта. Врач осмотрел и всю информацию записал в карточку. Записи в карточке, которые дают картину о состоянии ротовой полости на данный момент времени (число молочных, постоянных, пломбированных, удаленных зубов) и будет являться статистической моделью.
2.2. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.
Пример: та же самая карточка школьника, которая отражает изменения, происходящие с его зубами за определенный момент времени.
3 классификация - по признаку «По способу представления»
Первые две большие группы: материальные и информационные. Названия этих групп как бы показывают, из чего сделаны модели.
Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение.
Примеры: Детские игрушки. Школьные пособия, физические и химические опыты, географические карты, схемы солнечной системы и звездного неба и многое другое.
Материальные модели реализуют материальный (потрогать, понюхать, увидеть, услышать) подход к изучению объекта, явления или процесса.
3.1. Информационные модели нельзя потрогать или увидеть воочию, они не имеют материального воплощения, потому что они строятся только на информации. В основе этого метода моделирования лежит информационный подход к изучению окружающей действительности.
Информационные модели – совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.
Информация, характеризующая объект или процесс, может иметь разный объем и форму представления, выражаться различными средствами. Это многообразие настолько безгранично, насколько велики возможности каждого человека и его фантазии. К информационным моделям можно отнести знаковые и вербальные.
3.1.1. Знаковая модель – информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Это рисунки, тексты, графики и схемы.
По способу реализации знаковые модели можно разделить на две группы:
Компьютерные знаковые модели;
Некомпьютерные знаковые модели.
3.1.2. Вербальная (от лат «verbalis» – устный) модель – информационная модель в мысленной или разговорной форме.
Это модели, полученные в результате раздумий, умозаключений. Они могут так и остаться мысленными или быть выражены словесно. Примером такой модели может стать наше поведение при переходе улицы. Человек анализирует ситуацию на дороге (что показывает светофор, с какой скоростью и на каком расстоянии движутся автомобили и т. п.) и вырабатывает свою модель поведения. Если ситуация смоделирована удачно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти авария. К таким моделям можно отнести идею, возникшую в голове изобретателя, музыкальную тему, промелькнувшую в голове композитора, рифму, прозвучавшую пока в голове поэта.
Знаковые и вербальные модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в знаковую форму. И, наоборот, знаковая модель – помогает сформировать в сознании верный мысленный образ.
Проблема классификации моделей, как и любых достаточно сложных явлений, процессов, систем, сложна, многогранна и трудноразрешима. Объективная причина состоит в том, что исследователя интересует лишь какое-то одно свойство системы (объекта, процесса, явления), для отображения которого и создана модель. Поэтому в основу классификации можно положить множество различных признаков: способ описания, функциональное назначение, степень детализации, структурные свойства, область применения и т.д.
Рассмотрим некоторые классы моделей.
1. По назначению моделей различают:
Исследовательские (познавательные, когнитивные), предназначенные для генерации знаний путем изучения свойств объекта;
Учебные, предназначенные для передачи знаний об изучаемом объекте;
Рабочие (прагматические), предназначенные для генерации правильных действий в процессе достижения цели.
К исследовательским моделям относятся полунатурные стенды, физические модели, математические модели. Отметим, что исследовательские модели могут выступать в качестве учебных, если они предназначены для передачи знаний о свойствах объекта. Примерами рабочих моделей могут служить: робот; автопилот; математическая модель объекта, встроенная в систему управления или контроля; искусственное сердце и т.д. При этом исследовательские и учебные модели должны приближаться к реальности, а рабочие модели должны отражать эту реальность. Четкой границы между этими моделями не существует. Так, например, исследовательская модель, адекватно отражающая свойства объекта, может быть использована в качестве рабочей. Исследовательские модели являются носителями новых знаний, учебные модели соединяют старые знания с новыми. Рабочие модели идеализируют накопленные знания в форме идеальных действий по выполнению тех или иных функций, которые желательно было бы осуществить.
2. По отражению режимов работы системы различают:
Статические модели, которые отражают установившиеся (равновесные) режимы работы системы;
Динамические, которые отражают неустановившиеся (неравновесные, переходные) режимы работы системы.
Статические режимы работы элементов, объектов, систем отражены в их статических характеристиках (линейных, нелинейных) и описываются соответствующими алгебраическими функциональными зависимостями.
3. По способу создания (построения) моделей различают:
Абстрактные (дедуктивные, умозрительные, идеальные) модели, построенные средствами мышления на базе нашего сознания;
Материальные (физические, реальные) модели, построенные средствами материального мира для отражения его объектов, процессов и т.д.
Абстрактные модели - это идеальные конструкции в нашем сознании в виде образов или представлений о тех или иных физических явлениях, процессах, ситуациях, объектах, системах. Примерами абстрактных моделей могут служить какая-либо гипотеза о свойствах материи, предположения о поведении сложной системы в условиях неопределенности или новая теория о строении сложных систем. На абстрактных моделях и на умозрительной аналогии (сходстве) между моделью М и оригиналом S строится идеальное (дедуктивное) моделирование. Различают два вида идеального моделирования: формализованное и неформализованное (интуитивное). К формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том числе математические и языковые конструкции (языки программирования, естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпретации. Примером знаковых моделей могут служить чертежи, схемы, графики, формулы и т.д. Математическое моделирование - частный случай знакового моделирования. Здесь преобразование формул осуществляется на основе правил логики и математики.
Математическая модель - это объект, который имеет с прототипом следующее однозначное соответствие: 1) структуры, т.е. состава элементов и связей между ними; 2) уравнений, описывающих свойства этих элементов и их связей. При этом математическую модель сложной системы можно трактовать как множество математических моделей элементов, взаимосвязанных и взаимодействующих друг с другом и адекватно отражающих синергетические свойства системы.
При образном моделировании модели строятся из каких-либо наглядных элементов (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел и т.д.). Анализ образных моделей осуществляется мысленно и может быть отнесен к формализованному моделированию в том случае, когда правила взаимодействия образов четко формализованы. Этот вид моделирования используется при мысленном эксперименте.
Данный дипломный проект представляет собой попытку познакомить социологов с математическим аппаратом и с современными методами решения социологических задач. Вот неполный перечень таких задач:
Обработка и анализ данных опросов и других социологических исследований
Построение математических моделей социальных процессов и явлений
Объяснение и предсказание социальных явлений
Математическое моделирование состоит в замене реального объекта его математической моделью с последующим изучением последней. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.
Многомерное шкалирование – математический инструментарий, предназначенный для обработки данных о отношениях между исследуемыми объектами с целью представления этих объектов в виде точек некоторого пространства восприятия. Этот метод позволяет выявить и интерпретировать латентные (т.е. скрытые и непосредственно не наблюдаемые) признаки, объясняющие связей между исследуемыми объектами. В пособии в качестве метода многомерного шкалирования рассмотрен метрический метод Торгерсона.
Другая задача обработки данных состоит в уменьшении размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Это позволяет, во-первых избавиться от “шума”, т.е. части данных, которая содержит не полезную информацию, а погрешности и ошибки. Во-вторых, чем меньше размерность данных, тем легче их дальнейшее изучение и интерпретация. В качестве аппарата уменьшения размерности данных в пособии рассмотрен метод главных компонент.
Все процессы, развивающиеся во времени и имеющую в причинно-следственную связь моделируются с помощью дифференциальных уравнений (в случае, когда система описывается одной характеристикой) и систем дифференциальных уравнений (когда таких характеристик несколько). В качестве примера моделирования таких процессов в пособии рассмотрены несколько примеров роста численности популяции некоторой замкнутой экосистемы.
Единую классификацию моделей составить практически невозможно из-за многозначности понятия «модель» в современной жизни.
Рассмотрим классификацию моделей по степени их абстрагированияот оригинала(рис. 1.1).
Геометрическаямодель отображает пространственные и геометрические свойства оригинала (например, макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолетов, судов, автомобилей).
Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала. Такая модель представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала. Физическая модель создается по строгим законам теории подобия.
П р и м е р 1. Установка «Токамак», в которой реализуется термоядерная реакция в микромасштабе, является физической моделью термоядерных реакторов атомных электростанций.
П р и м е р 2 (из области авиастроения). Одной из серьезных задач, решаемых в процессе создания новой модели самолета, является выбор оптимальной обтекаемой формы и оптимизация аэродинамических характеристик. Решение этой задачи можно получить только экспериментальным путем. Конструкторы создают уменьшенную физическую модель самолета и помещают в специальную установку − аэродинамическую трубу, внутри которой создается поток воздуха с той же скоростью, с которой должна лететь модель. Специальные аэродинамические весы фиксируют нагрузки, действующие на отдельные элементы конструкции.
Аналоговая модель имеет физическую природу, отличную от оригинала, но динамика ее внутренних процессов может быть описана теми же математическими соотношениями, которые описывают процессы в моделируемой системе − оригинале. В качестве аналоговых моделей используются электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические и другие системы.
Рассмотрим примеры.
П р и м е р 3. Оригинал–механическая система – маятник, совершающий колебания относительно положения равновесия (рис. 1.2). Модель– электрическая система, представляющая собой колебательный контур (рис. 1.3).
Процесс колебания маятника и процесс изменения напряжения конденсатора во времени (в установившемся режиме) описываются одним и тем же дифференциальным уравнением для незатухающих гармонических колебаний
, (1.1)
где ω – частота колебаний.
Возможность взаимного замещения механической и электрической систем при моделировании основана на следующих положениях:
аналогом кинетической энергии механической системы является энергия магнитного поля электрической системы (накапливается на индуктивности);
аналогом потенциальной энергии механической системы является энергия электрического поля электрической системы (накапливается в конденсаторе).
П р и м е р 4. Оригинал– механическая система (рис. 1.4).
Модель – электрическая система (рис. 1.5)
Для механической системы выполняется условие:
т. е. сумма всех сил, действующих в системе, равна нулю.
Таким образом,
. (1.3)
Для электрической системы выполняется аналогичное условие:
(1.4)
т. е. сумма электродвижущих сил в замкнутой цепи равна сумме падений напряжения на отдельных ее элементах. Следовательно,
. (1.5)
Таким образом, наличию упругой силы в механической системе соответствует наличие напряжения на обкладках конденсатора. Инерционные свойства механической системы (за счет наличия массы m) в электрической системе отражаются с помощью индуктивности . Наличию сил трения в механической системе соответствует наличие активного сопротивления
Мнемоническаямодельотображает свойства объекта (оригинала) посредством схемы, графа, графика, чертежа, диаграммы, химической формулы и т. д. (рис. 1.6).
Математическаямодель отображает свойства объекта (оригинала) на языке математических формул и уравнений.
Вычислительная модель – программа, реализующая алгоритм решения математической модели.
Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие). Схема, представленная на рис. 1.7, отражает основные элементы компьютерного моделирования.
1.3. Математическое моделирование
Математическое моделирование занимает ведущее место среди всех видов моделирования.
Первые математические модели появились на заре развития математики, когда возникла необходимость количественного описания объектов и явлений окружающего мира: теорема Пифагора (VI в. до н. э.), законы Ньютона (XVIII в.), волновые уравнения Максвелла (XIX в.), теория относительности Эйнштейна (XX в.).
В настоящее время математическое моделирование – мощное средство развития науки и познания окружающего мира, а иногда это единственное средство решения проблемы.
 |
П р и м е р 5 . Авиастроение. В предвоенные годы начала развиваться скоростная авиация. Авиаконструкторы столкнулись с серьезной проблемой – явлением «флаттера». Оно заключалось в следующем. Во время экспериментальных полетов на некоторых критических режимах неожиданно возникали резкие вибрации конструкции и самолет в считанные секунды разваливался на части. Причина – резонансные явления, вызванные взаимодействием элементов конструкции самолета и вихревых воздушных потоков на определенных скоростях полета. Проблема была решена академиком М. В. Келдышем. Он разработал математическую модель этого явления, создал на ее основе теорию флаттера и определил средства борьбы с ним.
П р и м е р 6.Энергетика. Прогнозирование будущего поведения атомных и термоядерных реакторов.
П р и м е р 7.Геофизика, астрофизика. Моделирование процессов развития звезд и солнечной активности, долгосрочных прогнозов землетрясений, цунами и т. д.
П р и м е р 8. Генетика. Моделирование законов наследственности и изменчивости организмов.
П р и м е р 9. Биотехнология. Создание новых видов горючего, новых лекарств.
П р и м е р 10. Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекаемости конструкции и т. д.
П р и м е р 11. Задачи оптимального управления системой, процессом.
П р и м е р 12. Разработка новейших современных технологических процессов.
1.3.1. Цели математического моделирования
1) Интерпретация прошлого поведения объекта и обобщение имеющихся знаний о нем на основе выявления основных причинно-следственных связей.
2) Предсказание будущего поведения объекта – прогноз:
а) при варьировании условий испытания объекта (влияние внешних электрических и магнитных полей, колебания температуры, давления, наличие источника радиактивного излучения и т. д.);
б) при имитации экстремальных режимов работы объекта.
3) Обновление и совершенствование старой, ранее построенной модели на основе получения новой информации об оригинале.
4) Оптимизация параметров системы или ее структуры.
5) Создание алгоритма оптимального управления системой с точки зрения заданного критерия.
1.3.2. Требования к математической модели
1) Соответствие цели моделирования.
2) Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА) (рис.1.8), которая задается диапазоном значений параметров модели (ΔВ 1 и ΔВ 2), в пределах которого она должна быть адекватной реальному объекту.
1.3.3.Этапы математического моделирования
1-й этап. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели.
2-й этап. Создание концептуальной модели, т. е. содержательного описания моделируемого объекта. Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:
− состав и структура объекта;
− причинно-следственные связи между параметрами объекта;
− количество параметров, достаточное для адекватного описания объекта;
− класс исследуемого объекта и создаваемой модели;
− условия функционирования объекта.
На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.
Проблема 1. Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту.
Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы:
− отсутствие эффективных методов исследования такой модели;
− рост затрат на моделирование превысит рост эффекта от внедрения модели.
Нельзя входить и в другую крайность – чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор влияющих факторов, их четкое разграничение на основные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, а второстепенные отброшены (рис. 1.9). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.
Проблема 2. Определение границ применимости создаваемой модели.
Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности).
П р и м е р 13. Сформировать математическую модель, описывающую процесс падения тела на Землю.
В основе этого явления лежит закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Если в качестве этих двух тел рассматривать металлический шарик и Землю, то на языке математики падение шарика можно описать соотношением:
где – постоянная;
m и М З – масса шарика и Земли,
R – расстояние между центрами притягивающихся тел.
Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила F, то его движение описывается соотношением:
Так как рассматривается процесс падения тела, то следует a заменить на ускорение свободного падения . Тогда модель падения шара примет вид:
или – (1.8)
это модель в общем виде. Теперь необходимо ее конкретизировать для данных условий проведения эксперимента. Опыт с шаром проводится в лаборатории (т. е. вблизи поверхности Земли). Следовательно, можно принять, что расстояние между центрами Земли и шарика равно радиусу Земли: R= R З. Тогда математическая модель примет вид:
Эта модель позволяет дать исчерпывающее описание процесса падения шара в любой момент времени t: определить высоту h, на которой находится шар, а также его скорость v:
(1.10)
(1.11)
Границы применимости этой модели:
– тело падает с небольшой высоты, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли;
– тело имеет компактную форму и обладает достаточной массой;
– можно пренебречь фактором сопротивления воздуха.
При нарушении хотя бы одного из этих условий данная модель не будет адекватной. Например, эту модель нельзя применить для описания следующих процессов: приземления парашютиста, падения листьев с дерева, падения осколка метеорита на Землю и т. д.
В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).
Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.
Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.
Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.
3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:
– все соотношения записывают в аналитической форме;
– логические условия выражают в виде систем неравенств;
– случайные процессы заменяют их типовыми моделями.
4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.
5-й этап.Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.
1.3.4. Классификация математических моделей
Математические модели можно классифицировать по форме их представления (рис. 1.10). За основу второй классификации (рис. 1.11) взят характер модели.
 |
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
