Виртуальная камера. Перспективная проекция

Сегодня мы более подробно рассмотрим устройство виртуальной камеры. Начнём с картинки.

На рисунке мы видим координатное пространство камеры. Направление ("взгляд") камеры всегда совпадает с положительным направлением оси z, а сама камера расположена в начале координат.

Внутреннее пространство пирамиды изображённой на рисунке - это та часть виртуального мира, которую увидит пользователь.

Обратите внимание на три плоскости. Первая расположена на расстоянии 1 по оси z. Это ближняя плоскость. То что находится до неё игрок никогда не увидит. В данном случае значение z равно единице, но вообще говоря, оно может быть любым. Именно с ближней плоскостью связан один дефект отображения графики. Этот дефект проявляется прежде всего в шутерах (из-за большой свободы камеры). Когда ты слишком близко подходишь к объекту, то можно оказаться "внутри". Из последних игр этот дефект особенно сильно проявлялся в Left 4 dead: когда на игрока наваливалась толпа зомби, то очень часто можно было заглянуть внутрь других персонажей.

Плоскость расположенная на расстоянии 100 единиц по оси z называется дальней. Опять же, значение может быть произвольным. Пользователь никогда не увидит объекты расположенные дальше этой плоскости.

Шесть плоскостей ограничивающих пространство, которое увидит пользователь, называются отсекающими (clipping planes): левая правая верхняя нижняя ближняя и дальняя.

Плоскость расположенная между ближней и дальней - проекционная. В дальнейшем, эту плоскость мы будем располагать в z=1, т.е. она будет совпадать с ближней. Здесь я отделил ближнюю и проекционную плоскости, чтобы показать, что это всё-таки не одно и то же. Проекционная плоскость предназначена для последнего преобразования координат: преобразование из трёхмерного пространства камеры - в двухмерное пространство.

Именно благодаря проекционной плоскости пользователь увидит виртуальный мир. Собственно, эта плоскость и есть то, что увидит пользователь. Проекционная плоскость напрямую связана с такими понятиями как основной/фоновый буферы, окно программы и экран пользователя. Все эти понятия можно рассматривать как прямоугольную картинку, которая в памяти компьютера представлена массивом цифр.

Преобразование координат из трёхмерного мира в проекционную плоскость - самое сложное из тех, которые на данный момент были нами изучены.

Поле зрения/зона обзора (field of view)

На рисунке выше у проекционной плоскости (а значит и у изображения, которое увидит пользователь) ширина больше высоты. Ширина и высота проекционной плоскости задаются с помощью углов. Встречаются разные названия этих углов: поля зрения или зоны обзора. В английском - fields of view.

Зоны обзора задаются двумя углами. Назовём их: fovx - зона обзора по горизонтали, fovy - зона обзора по вертикали. Подробно о зонах обзора: ниже.

Z-буфер / w-буфер / буфер глубины (z-buffer / w-buffer / depth buffer)

Посмотрим на картинку, на которой представлено два треугольника: на расстоянии в 25 и 50 единиц от камеры. На рисунке (а) показано местоположение треугольников в пространстве (вид сверху), а на рисунке (б) можно увидеть конечное изображение:

Как вы возможно догадываетесь, изображение нужно рисовать начиная с самых дальных элементов и заканчивая самыми ближними. Очевидное решение: вычислить расстояние от начала координат (от камеры) до каждого объекта, а затем сравнить. В компьютерной графике используется немного более усовершенствованный механизм. У этого механизма несколько названий: z-буфер, w-буфер, буфер глубины. Размер z-буфера по количеству элементов совпадает с размером фонового и основного буферов. В z-буфер заносится z-компонента самого ближнего к камере объекта. В данном примере, там где синий треугольник перекрывает зелёный, в буфер глубины будут занесены z-координаты синего. Мы ещё поговорим о z-буферах более подробно в отдельном уроке.

Ортографическая / параллельная проекция (orthographic / parallel projection)

Операция при которой происходит уменьшение размерности пространства (было трёхмерное пространство, стало двухмерным) называется проекцией. Прежде всего нас интересует перспективная проекция, но сналача мы познакомимся с параллельной (parallel или orthographic projection).

Для вычисления параллельной проекции достаточно отбросить лишнюю координату. Если у нас есть точка в пространстве [ 3 3 3 ], то при параллельной проекции на плоскость z=1, она спроецируется в точку .

Перспективная проекция (perspective projection) на проекционную плоскость

В данном виде проекции все линии сходятся в одной точке. Именно так устроено наше зрение. И именно с помощью перспективной проекции моделируется "взгляд" во всех играх.

Сравните этот рисунок с рисунком показывающим однородные координаты из предыдущего урока. Чтобы из трёхмерного пространства перейти в двухмерное, нужно первые две компоненты векторов разделить на третью: [ x/z y/z z/z ] = [ x/z y/z 1 ].

Как я уже писал выше, проекционная плоскость может располагаться где угодно между ближней и дальней. Мы будем всегда размещать проекционную плоскость в z=1, но в этом уроке мы рассмотрим и другие варианты. Посмотрим на картинку:

Расстояние до проекционной плоскости от начала координат обозначим как d. Мы рассмотрим два случая: d=1 и d=5. Важный момент: третья компонента всех векторов после проекции должна быть равна d - все точки расположены в одной плоскости z=d. Этого можно добиться умножив все компоненты вектора на d: [ xd/z yd/z zd/z ]. При d=1, мы получим: [ x/z y/z 1 ], именно эта формула использовалась для преобразования однородных координат.

Теперь, если мы отодвинем проекционную плоскость в точку z=5 (соотвтественно d=5), мы получим: [ xd/z yd/z zd/z ] = [ 5x/z 5y/z 5 ]. Последняя формула проецирует все векторы пространства в одну плоскость, где d=5.
У нас здесь небольшая проблемка. Предыдущая формула работает с трёхмерными векторами. Но мы договорились использовать четырёхмерные векторы. Четвёртую компоненту в данном случае можно просто отбросить. Но мы не будем этого делать, так как её использование даёт некоторые специфические возможности, которые мы ещё обсудим.

Нужно найти общий делитель третьей и четвёртой компонент, при делении на который в третьей компоненте остаётся значение d, а в четвёртой единица. Делитель этот - d/z. Теперь из обычного вектора [ x y z 1 ] нам нужно получить вектор готовый к проекции (делению) [ x y z z/d ]. Делается это с помощью матрицы преобразования (проверьте результат умножив любой вектор на данную матрицу):

Последнее преобразование - это ещё не проекция. Здесь мы просто приводим все векторы к нужной нам форме. Напоминаю, что мы будем размещать проекционную плоскость в d=1, а значит векторы будут выглядеть вот так: [ x y z z ].

Матрица перспективного преобразования

Мы рассмотрим матрицу перспективного преобразования использующуюся в DirectX:

Теперь мы знаем для чего предназначен элемент _34. Мы также знаем, что элементы _11 и _22 масштабируют изображение по горизонтали и вертикали. Давайте посмотрим, что конкретно скрывается за именами xScale и yScale.

Данные переменные зависят от зон обзора, о которых мы говорили выше. Увеличивая или уменьшая эти углы, можно масштавбировать (scale или zoom) изображение - менять размер и соотношение сторон проекционной плоскости. Механизм масштабирования отдалённо напомниает масштабирование в фотоаппаратах/камерах - принцип очень похожий. Рассмотрим рисунок:

Разделим угол fov на две части и рассмотрим только одну половинку. Что мы тут видим: увеличивая угол fov/2 (а соответсвенно и угол fov), мы увеличиваем sin угла и уменьшаем cos. Это приводит к увеличению проекционной плоскости и соответственно к уменьшеню спроецированных объектов. Идеальным для нас углом будет fov/2 = P/4. Напоминаю, что угол в P/4 радиан равен 45 градусам. При этом fov будет равен 90 градусам. Чем для нас хорош угол в 45 градусов? В данном случае не происходит масштабирования, а cos(P/4)/sin(P/4)=1.

Теперь мы можем легко масштабировать картинку по вертикали (горизонтали), используя синус и косинус половины зоны обзора (функция котангенса в C++ называется cot):

yScale = cos(fovY/2)/sin(fovY/2) = cot(fovY/2)
В DirectX используется только вертикальная зона обзора (fovY), а масштабирование по горизонатли зависит от вертикальной зоны обзора и соотношения сторон.

Напоминаю, что окно в наших программах размером в 500x500. Соотношение сторон: 1 к 1. Поэтому переменные будут равны: xScale=1, yScale=1.

Соотношение сторон стандартного монитора/телевизора: 4:3. Этому соотношению соответствуют разрешения экрана: 640x480, 800x600, 1600x1200. Мы пока не будем касаться полноэкранного режима, но можем изменить размер окна программы. Вы можете поменять размер окна (в present parameters), например, на 640X480. Но чтобы все предметы не растянулись (квадраты будут выглядеть как прямоугольники), не забудьте поменять соответствующие переменные в проекционной матрице.

Чуть не забыл, форумула для xScale в DirectX:

xScale = yScale / соотношение сторон
Соотношения сторон задаются просто: 1/1, 4/3, 16/9 - это из стандартных.

Осталось выяснить назначение элементов _33, _34 матрицы перспективного преобразования. zf - z-координата дальней плоскости (от far - далеко), а zn - z-координата ближней (от near - близко). Обратите внимание, что элемент _43 = _33 * -zn.

Легче всего понять, что именно делают эти формулы, можно на примерах. Умножим стандартный вектор [ x y z w ] на матрицу представленную выше. Рекомендую вам сделать это, взяв лист бумаги и карандаш (надеюсь вы помните как перемножать две матрицы). Компоненты вектора примут следующий вид.

1-ая = x*xScale
2-ая = y*yScale
3-я = z*(zf/(zf-zn)) + w*(-(zn*zf)/(zf-zn)) = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)
4-ая = (w*z)/d
Совершим проекционное преобразование (разделим все элементы на 4-ую компоненту, при этом допустим, что d=1 и w=1):

1-ая = (d*x*xScale)/(w*z) = (x*xScale)/z
2-ая = (d*y*yScale)/(w*z) = (y*xScale)/z
3-я = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)*(w*d/z) = (zf/(zf-zn))*(1 - zn/z)
4-ая = 1
В результате мы получили вектор вида:

[ x/(z*xScale) y/(z*yScale) (zf/(zf-zn))*(1-zn/z) 1 ]
Теперь, если вы зададите конкретные значения zf и zn, то обнаружите следующее (для положительных значений): если вектор расположен до ближней плоскости, то z-компонента после преобразования будет меньше нуля, если вектор расположен за дальней плоскостью, то z-компонента будет больше единицы.

Нет никакой разници где именно расположены ближняя и дальняя плоскости: zn=1, zf=10 или zn=10, а zf=100 (или любые другие значения) - после преобразования видимая область будет располагаться в отрезке от нуля до единицы, включительно.

Именно для этого и предназначены формулы в элементах _33, _34 проекционной матрицы - спроецировать расстояние от ближней до дальней плоскости в отрезок . Проверьте это, вычислив значения нескольких векторов для конкретных значений zn,zf (да-да, на листке бумаги!!!).

Аксонометрия является параллельной проекцией. В табл.3.3 первыми приводятся матрицы ортографических проекций на координатные плоскости, полученные из их определений.

Табл.3.3.Матрицы проектирующих преобразований и проецирования

Изометрия, диметрия и триметрия получаются комбинацией поворотов, за которыми следует проекция из бесконечности. Если нужно описать проекцию на плоскость XOY, то сначала необходимо осуществить преобразование поворота на угол относительно оси ординат, затем на уголотносительно оси абсцисс. В табл.3.3 приведена матрица триметрического преобразования. Для получения матрицы диметрического преобразования, при котором, например, коэффициенты искажения по осям абсцисс и ординат будут равными, взаимосвязь между углами поворотов должна подчиняться зависимости

То есть, выбрав угол , можно вычислить уголи определить матрицу диметрической проекции. Для изометрического преобразования взаимосвязь этих углов превращается в строго определенные значения, составляющие:

В табл.3.3 приведена матрица изометрического преобразования, а также матрица изометрического проецирования на плоскость XOY. Необходимость в матрицах первого типа заключается в их использовании в алгоритмах удаления невидимых элементов.

В косоугольных проекциях проектирующие прямые образуют с плоскостью проекции угол, отличный от 90 градусов. В табл.3.3 приведена общая матрица косоугольной проекции на плоскость XOY, а также матрицы свободной и кабинетной проекций, в которых:

Перспективные проекции (табл.3.3) также представлены перспективными преобразованиями и перспективными проекциями на плоскость XOY. V X , V Y и V Z являются центрами проецирования - точками на соответствующих осях. –V X , -V Y , -V Z будут точками, в которых сходятся пучки прямых, параллельных соответствующим осям.

Система координат наблюдателя представляет собой левую систему координат (рис.3.3), в которой ось z e направлена из точки зрения вперед, ось x e направлена вправо, а ось y e – вверх. Такое правило принято для совпадения осей x e и y e с осями x s и y s на экране. Определение значений координат экрана x s и y s для точки Р приводит к необходимости деления на координату z e . Для построения точного перспективного образа необходимо выполнять деление на координату глубины каждой точки.

В табл.3.4 приведены значения дескриптора вершин S(X,Y,Z) модели (рис.2.1), подвергнутой преобразованиям поворотов и изометрическому преобразованию.

Табл.3.4.Дескрипторы вершин модели

Перспективное проецирование

Нами были рассмотрены важные проекции, использующиеся в аффинной геометрии. Перейдем теперь к рассмотрению перспективной геометрии и нескольких новых видов проецирования.

На фотографиях, картинах, экране изображения кажутся нам естественными и правильными. Эти изображения называют перспективными. Свойства их таковы, что более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной, и по готовому изображению сложно определить размер тех или иных частей объекта.

Обычная перспективная проекция - это центральная проекция на плоскость прямыми лучами, проходящими через точку - центр проецирования. Один из проецирующих лучей перпендикулярен к плоскости проецирования и называется главным. Точка пересечения этого луча и плоскости проекции - главная точка картины.

Существует три системы координат. Обычно программист работает и держит данные о геометрических объектах в мировых координатах. Для повышения реалистичности при подготовке к выводу изображения на экран данные об объектах из мировых координат переводят в видовые координаты. И только в момент вывода изображения непосредственно на экран дисплея переходят к экранным координатам, которые представляют собой номера пикселов экрана.

Первые две системы могут использоваться в многомерных системах координат, но последняя только в двухмерной. Операции являются необратимыми, то есть из двухмерной картинки-проекции невозможно восстановить трехмерное изображение.

В этой матрице элементы a , d , е отвечают за масштабирование, m , n , L - за смещение, p , q , r - за проецирование, s - за комплексное масштабирование, х - за вращение.

Одноточечное проецирование на плоскость z = 0

Суть этого проецирования такова: чем глубже находится предмет, тем больше становится значение z-координаты и знаменателя rz + 1, и, следовательно, тем мельче выглядит предмет на плоскости проекции. Выполним несложные выкладки и поясним их графически:
уравнение x"/F = x/(F + z пр) равносильно: x" = xF/(F + z пр) = x/(1 + z пр /F) = x/(1 + rz пр), где r = 1/F, F - фокус.

Для того, чтобы точки, лежащие на линии, параллельной оси z , не терялись друг за другом, используется одноточечное проецирование на линию (см. матрицу преобразования и рис. 4.2 ); исчезла z-координата, но, поскольку дальние предметы стали более мелкими, чем такие же близкие, у зрителя появляется ощущение глубины. Запомните: это первый способ передачи глубины на плоскости!

В компьютерной графике определенны понятия различных матриц. Это мировая матрица (World Matrix), матрица вида (View Matrix) и матрица проекции (Projection Matrix). С помощью данных матриц в исходном коде программы производятся матричные преобразования над моделями. Матричные преобразования подразумевают под собой умножение каждой вершины объекта на одну из матриц, а точнее последовательное умножение всех вершин объекта на каждую из трех матриц. Такой подход позволяет корректно представить модель в трехмерном пространстве вашего двухмерного монитора. Техника прохода модели через три перечисленные матрицы представляет суть механизма работы с графическими данными в трехмерной плоскости монитора.

Мировая матрица

Мировая матрица – позволяет производить различные матричные преобразования (трансформацию и масштабирование) объекта в мировой системе координат. Мировая система координат – это своя локальная система координат данного объекта, которой наделяется каждый объект, скажем так прошедший через мировую матрицу, поскольку каждая вершина участвует в произведении этой матрицы.

Новая локальная система координат значительно упрощает аффинные преобразования объекта в пространстве. Например, чтобы перенести объект с левого верхнего угла дисплея в нижний правый угол дисплея, то есть переместить игровой объект в пространстве, необходимо просто перенести его локальную точку отсчета, системы координат на новое место. Если бы не было мировой матрицы, то этот объект пришлось переносить по одной вершине. Поэтому любой объект, а точнее все вершины этого объекта проходят через мировую матрицу преобразования.

Как уже упоминалось, мировое преобразование вершин объекта может состоять из любых комбинаций вращения, трансляции и масштабирования. В математической записи вращение вершины по оси Х выглядит следующим образом:

где cos - угол вращения в радианах.

Вращение вершины вокруг оси Y выглядит так:

А вращение вокруг оси Z происходит по следующей формуле:

Трансляция вершины позволяет переместить эту саму вершину с координатами x, y, z в новую точку с новыми координатами x1, y1, z1. В математической записи это выглядит так:

X1 = x + Tx y1 = y + Ty z1 = z + Tz

Трансляция вершины в матричной записи выглядит следующим образом:

где Tx, Ty и Tz - значения смещения по осям X, Y и Z.

Масштабировать вершину в пространстве (удалять или приближать) с координатами x, y, z в новую точку с новыми значениями x1, y1, z1, можно посредством следующей записи:

X1 = x * S y1 = y * S z1 = z * S

В матричной записи это выражается следующим образом:

где Sx, Sy, Sz - значения коэффициентов растяжения или сжатия по осям X, Y, Z.

Все перечисленные операции можно делать в исходном коде программы вручную, то есть вычислять приведенные записи так, как я их только что описал. Но естественно так никто не делает (почти никто), потому что в DirectX имеется огромное количество методов, которые сделают все выше приведенные операции за вас.

Матрица вида

Матрица вида – задает местоположение камеры в пространстве и это вторая по счету матрица, на которую умножаются вершины объекта. Эта матрица способствует определению направления просмотра трехмерной сцены. Трехмерная сцена – это все то, что вы видите на экране монитора. Это как в театре, где вы сидите в портере или на галерке и наблюдаете за действиями на сцене. Так вот сидя в портере у вас будет одно местоположение камеры, а сидя на галерке уже совсем другое.

Фактически эта матрица позволяет определять жанр игры. Например, игра DOOM от первого лица – это можно сказать первые ряды портера в театре, тогда как игра Warcraft – это галерка на балконе. Матрица вида предназначена для определения положения камеры в пространстве, и вы можете смещать позицию камеры влево, вправо, вверх, вниз, удалять, приближать ее и так далее.

Матрица проекции

Матрица проекции – это более сложная матрица, которая создает проекцию трехмерного объекта на плоскость двумерного экрана монитора. С помощью этой матрицы определяются передняя и задняя области отсечения трехмерного пространства, что позволяет регулировать пространство отсечения невидимых на экране объектов, а заодно и снизить нагрузку процессора видеокарты. На рисунке изображен механизм проекции объекта в плоскости и отсечение пространства.

Для того, чтобы вращать объекты (или камеру), необходима серьезная математическая база, с помощью которой будут расчитываться координаты всех объектов при выводе на "плоский" экран компьютера. Сразу хочу сказать, что не стоит пугаться, все математические библиотеки уже написаны за нас, мы будем их только использовать. В любом случае, следующий текст пропускать не нужно, независимо от уровня знаний математики.

1. Матрицы, общие понятия

Что такое матрицы? Вспоминаем высшую математику: матрица ¬- это набор чисел с заранее известной размерностью строк и столбцов.

Матрицы можно складывать, умножать на число, перемножать друг с другом и много еще чего интересного, но этот момент мы пропустим, т.к. он достаточно подробно изложен в любом учебнике по высшей математике (учебники можно поискать на google.com). Мы будем пользоваться матрицами как программисты, мы их заполняем и говорим, что с ними делать, все расчеты произведет математическая библиотека Direct3D, поэтому нужно включить в проект заголовочный модуль d3dx9.h (и библиотеку d3dx9.lib).

Наша задача - создать объект, т.е. заполнить матрицу координатами вершин объекта. Каждая вершина - это вектор (X, Y, Z) в трехмерном пространстве. Теперь, чтобы произвести какое-то действие, нужно взять наш объект (то есть матрицу) и умножить на матрицу преобразования, результат этой операции - новый объект, заданный в виде матрицы.

В Direct3D определены и используются три основные матрицы: мировая матрица, матрица вида и матрица проекции. Рассмотрим их подробнее.

Мировая матрица (World Matrix) - позволяет производить вращение, трансформацию и масштабирование объекта, а также наделяет каждый из объектов своей локальной системой координат.

Функции для работы с мировой матрицей: