Способ 1
Рассмотрим матрицу А размерностью 3х4 . Умножим эту матрицу на число k . При умножении матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, при этом каждый элемент матрицы А умножается на число k .
Введем элементы матрицы в диапазон В3:Е5 , а число k — в ячейку Н4 . В диапазоне К3: N 5 вычислим матрицу В , полученную при умножении матрицы А на число k : В=А* k . Для этого введем формулу =B3*$H$4 в ячейку K 3 , где В3 — элемент а 11 матрицы А .
Примечание: адрес ячейки H 4 вводим как абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы ссылка не менялась.
С помощью маркера автозаполнения копируем формулу ячейки К3 В .
Таким образом, мы умножили матрицу А в Excel и получим матрицу В .
Для деления матрицы А на число k в ячейку K 3 введем формулу =B3/$H$4 В .
Способ 2
Этот способ отличается тем, что результат умножения/деления матрицы на число сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.
Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий исходную матрицу А, нажимаем на клавиатуре знак умножить (*) и выделяем ячейку с числом k Ctrl+ Shift+ Enter
Для выполнения деления в данном примере в диапазон вводим формулу =B3:E5/H4, т.е. знак «*» меняем на «/».
Сложение и вычитание матриц в Excel
Способ 1
Следует отметить, что складывать и вычитать можно матрицы одинаковой размерности (одинаковое количество строк и столбцов у каждой из матриц). Причем каждый элемент результирующей матрицы С будет равен сумме соответствующих элементов матриц А и В , т.е. с ij = а ij + b ij .
Рассмотрим матрицы А и В размерностью 3х4 . Вычислим сумму этих матриц. Для этого в ячейку N 3 введем формулу =B3+H3 , где B3 и H3 - первые элементы матриц А и В соответственно. При этом формула содержит относительные ссылки (В3 и H 3 ), чтобы при копировании формулы на весь диапазон матрицы С они могли измениться.
С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу из ячейки N 3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы С .
Для вычитания матрицы В из матрицы А (С=А - В ) в ячейку N 3 введем формулу =B3 — H3 и скопируем её на весь диапазон матрицы С .
Способ 2
Этот способ отличается тем, что результат сложения/вычитания матриц сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.
Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий первую матрицу А , нажимаем на клавиатуре знак сложения (+) и выделяем вторую матрицу В . После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш Ctrl+ Shift+ Enter , чтобы значениями заполнился весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Следует отметить, что умножать матрицы можно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В .
Рассмотрим матрицы А размерностью 3х4 и В размерностью 4х2 . При умножении этих матриц получится матрица С размерностью 3х2.
Вычислим произведение этих матриц С=А*В с помощью встроенной функции =МУМНОЖ() . Для этого выделим диапазон L 3: M 5 — в нём будут располагаться элементы матрицы С , полученной в результате умножения. На вкладке Формулы выберем Вставить функцию .
В диалоговом окне Вставка функции выберем Категория Математические — функция МУМНОЖ — ОК .
В диалоговом окне Аргументы функции выберем диапазоны, содержащие матрицы А и В . Для этого напротив массива1 щёлкнем по красной стрелке.
А (имя диапазона появится в строке аргументов), и щелкнем по красной стрелке.
Для массива2 выполним те же действия. Щёлкнем по стрелке напротив массива2.
Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы В , и щелкнем по красной стрелке.
В диалоговом окне рядом со строками ввода диапазонов матриц появятся элементы матриц, а внизу — элементы матрицы С . После ввода значений нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift + Ctrl ОК .
ВАЖНО. Если просто нажать ОК С .
Мы получим результат умножения матриц А и В .
Мы можем изменить значения ячеек матриц А и В , значения матрицы С поменяются автоматически.
Транспонирование матрицы в Excel
Транспонирование матрицы — операция над матрицей, при которой столбцы заменяются строками с соответствующими номерами. Обозначим транспонированную матрицу А Т .
Пусть дана матрица А размерностью 3х4 , с помощью функции =ТРАНСП() вычислим транспонированную матрицу А Т , причем размерность этой матрицы будет 4х3 .
Выделим диапазон Н3: J 6 , в который будут введены значения транспонированной матрицы.
На вкладке Формулы выберем Вставить функцию, выберем категорию Ссылки и массивы — функция ТРАНСП — ОК .
В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:Е5 А Shift + Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК .
ВАЖНО. Если просто нажать ОК , то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А Т .
Нажмите для увеличения
Мы получили транспонированную матрицу.
Нахождение обратной матрицы в Excel
Матрица А -1 называется обратной для матрицы А , если А А -1 =А -1 А=Е , где Е — единичная матрица. Следует отметить, что обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы (одинаковое количество строк и столбцов).
Пусть дана матрица А размерностью 3х3 , найдем для неё обратную матрицу с помощью функции =МОБР() .
Для этого выделим диапазон G 3: I 5 , который будет содержать элементы обратной матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию .
В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОБР — ОК .
В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3: D 5 , содержащего элементы матрицы А . Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift + Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК .
ВАЖНО. Если просто нажать ОК , то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А -1 .
Нажмите для увеличения
Мы получили обратную матрицу.
Нахождение определителя матрицы в Excel
Определитель матрицы — это число, которое является важной характеристикой квадратной матрицы.
Как найти определить матрицы в Excel
Пусть дана матрица А размерностью 3х3 , вычислим для неё определитель с помощью функции =МОПРЕД() .
Для этого выделим ячейку Н4 , в ней будет вычислен определитель матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию .
В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОПРЕД — ОК .
В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3: D 5 , содержащего элементы матрицы А . Нажимаем ОК .
Нажмите для увеличения
Мы вычислили определитель матрицы А .
В заключение обратим внимание на важный момент. Он касается тех операций над матрицами, для которых мы использовали встроенные в программу функции, а в результате получали новую матрицу (умножение матриц, нахождение обратной и транспонированной матриц). В матрице, которая получилась в результате операции, нельзя удалить часть элементов. Т.е. если мы выделим, например, один элемент матрицы и нажмём Del , то программа выдаст предупреждение: Нельзя изменять часть массива .
Нажмите для увеличения
Мы можем удалить только все элементы этой матрицы.
Видеоурок
Учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ "СОШ", с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.
В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.
Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.
Формулы массива
Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).
Порядок применения формулы массива:
- Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
- Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
- Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.
В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.
Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.
Решение матриц в Excel
С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.
Транспонирование
Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.
Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.
Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.
Сложение
Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.
В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.
Умножение матриц в Excel
Условие задачи:
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).
Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.
В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.
Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.
Обратная матрица в Excel
Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).
Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.
Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:
Нахождение определителя матрицы
Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.
Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).
Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.
РХТУ им. Д.B. Менделеева Кафедра ИКМ Методическое пособие по изучению Excel
Операции с матрицами в Excel
Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.
Транспонирование .
Транспонированной называется матрица (A T), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.
Пример . Пусть в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2x5. Необходимо получить транспонированную матрицу.
Выделить указателем мыши при нажатой левой кнопке блок ячеек, где будет находиться транспонированная матрица. В нашем примере блок размера 5 x2 в диапазоне А4:В8.
Стандартная вставка функции.
Мастер функций в рабочем полеКатегория выбратьСсылки и массивы , а в рабочем полеФункция – имя функции ТРАСП (рис.1)
рис.1
Появившееся диалоговое окно ТРАСП мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER(рис.2)
Если транспонированная матрица не появилась в заданном диапазоне А4:В8, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица.
Рис.2
Вычисление определителя матрицы
Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица. Необходимо вычислить определитель матрицы
Табличный курсор поставить в ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например. В А4.
Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции
В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МОПРЕД. После этого нажать на кнопку ОК.
Появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажать кнопку ОК.
В ячейке А4 появится значение определителя матрицы.
Нахождение обратной матрицы
Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица. Необходимо в диапазоне А5:С7 получить обратную матрицу.
Выделить блок ячеек под обратную матрицу (в нашем примере А5:С7)
Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции
В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МОБР. После этого нажать на кнопку ОК.
Появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER
Если обратная матрица не появилась в заданном диапазоне А1:С3, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне А1:С3 появится обратная матрица.
Сложение и вычитание матриц, умножение и деление матрицы на число
Пример. Пусть матрица А введена в диапазон А1:С2, а матрица В – в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой, в диапазоне Е1:G2.
Табличный курсор установить в левый верхний угол результирующей матрицы – ячейку Е1.
Ввести формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =А1+А4 (предварительно установить английскую раскладку клавиатуры)
Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы.
В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная сумме исходных матриц.
Подобным образом вычисляется разность матриц, только в формуле вместо знака +, ставится знак -.
Если необходимо умножить (разделить) матрицу А на число k, то формула будет иметь вид =А1*k.
Рис.3
Умножение матриц
Произведение двух матриц определено, если число столбцов первой матрицы произведения равно числу строк второй матрицы произведения.
Пример . Пусть матрица введена в диапазонA1:D3, а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С=Аx В.
Выделить блок ячеек указателем мыши при нажатой левой кнопке под результирующую матрицу. Если матрица А имеет размерность 3 x 4, а матрица В имеет размерность 4 x 3, то результирующая матрица С имеет размерность 3 x 3. Поэтому следует внимательно следить, чтобы размерность матрицы С в точности соответствовала определению произведения двух матриц. Пусть матрица С будет размещаться в диапазонеF1:G3.
Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции
В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МУМНОЖ. После этого нажать на кнопку ОК.
Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон первой матрицы А1:D3 в рабочее полеМассив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7 ввести в рабочее полеМассив2 . После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER(рис.3)
Рис.4
Если произведение матриц не появилось в заданном диапазоне А1:С3, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
В результате в диапазоне F1:G3 появится обратная матрица.
Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике "Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966". Скачать - 11Мб
1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)
Если дано уравнение:
A*X = B, где A - квадратная матрица, X,B - вектора;
причем B - известный вектор (т е столбец чисел), X - неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 - обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы
(или матрица на вектор) - функцией МУМНОЖ().
Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно:
1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР(3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel. Пример СЛАУ 4-го порядка
Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.
2. Метод Гаусса
Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы или воспользоваться специальными программами, например, этойКраткое описание.
3. Метод Якоби (метод простых итераций)
Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.
(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)
(2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4)
(3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4)
(4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3)
Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ".
Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные
элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения
таких систем уравнений. Конечно, это не дело.
В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:
Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид:
А вектор В2:
Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.
Введем данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.
Решение системы уравнений методом обратной матрицы
Найдем матрицу, обратную матрице А. Для этого в ячейку А9 введем формулу =МОБР(A2:C4). После этого выделим диапазон А9:С11, начиная с ячейки, содержащей формулу. Нажмем клавишу F2, а затем нажмем клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставится как формула массива. =МОБР(A2:C4).
Найдем произведение матриц A-1 * b. В ячейки F9:F11 введем формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) как формулу массива. Получим в ячейках F9:F11
корни уравнения:
Решение системы уравнений методом Крамера
Решим систему методом Крамера, для этого найдем определитель матрицы.
Найдем определители матриц, полученных заменой одного столбца на столбец b.
В ячейку В16 введем формулу =МОПРЕД(D15:F17),
В ячейку В17 введем формулу =МОПРЕД(D19:F21).
В ячейку В18 введем формулу =МОПРЕД(D23:F25).
Найдем корни уравнения, для этого в ячейку В21 введем: =B16/$B$15, в ячейку В22 введем: = =B17/$B$15, в ячейку В23 введем: ==B18/$B$15.
Получим корни уравнения: