Согласованный линейный фильтр. Согласованный фильтр

Существует большой класс задач, в которых требуется обнаружить сигнал, если форма его известна. К таким сигналам, в первую очередь, относятся дискретные двоичные сигналы. В этих случаях важным параметром, характеризующим качество обнаружения, является отношение сигнала к помехе. Линейный фильтр, максимизирующий это отношение, называется оптимальным согласованным фильтром .

Пусть на входе фильтра действует сумма сигнала и помехи , т. е. колебание

Полезный сигнал рассматривается не как случайный процесс, а как функция известной формы со спектральной плотностью

где и – амплитудный и фазовый спектры сигнала. Помеху будем считать стационарным случайным процессом типа белого шума с равномерной двухсторонней спектральной плотностью

Коэффициент передачи линейного фильтра запишем в виде

Сигнал на выходе фильтра, очевидно, равен сумме полезного сигнала и помехи :

Полезный сигнал на выходе можно записать в виде

Пиковая мощность сигнала в некоторый момент будет равна:

а мощность помехи

Тогда превышение сигнала над помехой в момент времени будет определяться следующим выражением:

. (5.6)

Необходимо найти, каким должен быть коэффициент передачи фильтра, чтобы отношение сигнала к помехе на его выходе было максимальным. Известно неравенство Буняковского - Шварца:

На основании этого неравенства получаем, что при любой характеристике фильтра отношение сигнала к помехе не может превосходить максимального значения:

, (5.8)

где – полная энергия сигнала. Указанная в равенстве (5.8) максимальная величина достигается в том случае, когда коэффициент передачи фильтра имеет следующее выражение:

где – функция, комплексно сопряженная со спектром сигнала ; – произвольная постоянная.

Выражение (5.9) можно записать в виде двух равенств:

, (5.10)

из которых следует, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудным спектром сигнала, а фазочастотная характеристика определяется фазовым спектром сигнала и линейной функцией частоты . Таким образом, частотная характеристика согласованного фильтра полностью определяется спектром сигнала, "согласована" с ним.

Фаза сигнала на выходе согласованного фильтра с учетом (5.10) будет равна:

При , т.е. в момент , все гармонические составляющие сигнала имеют одинаковую фазу и складываются арифметически, образуя в этот момент пик сигнала на выходе фильтра. Спектральные же составляющие помехи на выходе фильтра имеют случайную фазу. Этим и объясняется доказанное выше положение о том, что согласованный фильтр максимизирует отношение сигнала к помехе на выходе.

В качестве примера рассмотрим построение согласованного фильтра для прямоугольного импульса, заданного в виде:

Спектр такого импульса, как известно,

На основании (5.9) коэффициент передачи согласованного фильтра будет

. (5.11)

Известно, что умножение на в частотной области соответствует интегрированию в пределах от до во временной области, а умножение на соответствует задержке сигнала на время .

Следовательно, фильтр с коэффициентом передачи (5.11) состоит из интегратора И , включающего в себя дополнительно масштабирующий усилитель с коэффициентом усиления , линии задержки на время Т с коэффициентом передачи и вычитающего устройства В (рис. 5.1, а).

Рис. 5.1. Согласованный фильтр для прямоугольного импульса (а), сигнал на его входе (б) и выходе (в)

Сигнал на выходе фильтра имеет форму равнобедренного треугольника (рис. 5.1, в) с основанием 2Т и высотой, равной энергии сигнала сА 2 Т , т. е.:

В ряде случаев согласованные фильтры оказываются практически труднореализуемыми. Поэтому часто применяют фильтры, которые согласованы с сигналом только по полосе (квазиоптимальные фильтры ). Оптимальная полоса для различных импульсов различна и может быть вычислена без особых трудностей. Так, для фильтра с прямоугольной частотной характеристикой, на который воздействует радиоимпульс прямоугольной формы длительностью , оптимальная полоса равна . Можно показать, что отношение сигнала к помехе на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с согласованным фильтром уменьшается на величину порядка.

Полученные ранее выражения, определяющие частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность найти физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации сигнала известной формы. Ниже на конкретных примерах будут показаны некоторые приемы такого синтеза.

Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.

Рассмотрим импульсный сигнал представляющий собой видеоимпульс прямоугольной формы с известной длительностью и произвольной амплитудой Чтобы найтн структуру фильтра, согласованного с таким сигналом, используем спектральный метод. Прежде всего вычислим спектральную плотность полезного сигнала:

(16.31)

Отсюда на основании выражения (16.25) находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра, положив для конкретности т. е. что отклик фильтра максимален в момент окончания импульса:

Полученный результат позволяет синтезировать согласованный фильтр. Действительно, в соответствии с выражением (16.32) такой фильтр должен представлять собой каскадное соединение трех линейных звеньев: а) масштабного усилителя с коэффициентом усиления k; б) идеального интегратора; в) устройства с коэффициентом передачи . Последнее устройство реализуется с помощью звена задержки сигнала на время инвертора, изменяющего знак сигнала, и сумматора. Структурная схема фильтра изображена на рис. 16.3.

Рис. 16.3. Структурная схема согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса

Согласованный фильтр для пачки одинаковых видеоимпульсов.

В радиолокации часто, стремясь увеличить энергию полезного сигнала, обрабатывают импульсы отдельными пачками. Предположим, что на выходе амплитудного детектора приемника имеется пачка из N одинаковых видеоимпульсов длительностью каждый; интервал между импульсами равен Т. Если - спектральная плотность отдельного импульса, то спектральная плотность пачки импульсов

Синтезируя структуру согласованного фильтра для пачки импульсов, потребуем, чтобы максимальный отклик возникал в момент окончания последнего импульса пачки, откуда Применив формулу (16.25), находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра:

(16.34)

где - коэффициент передачи согласованного фильтра для одиночного видеоимпульса.

Рис. 16.4. Структурная схема согласованного фильтра для пачки видеоимпульсов

Формула (16.34) непосредственно определяет структурную схему согласованного фильтра, изображенную на рис. 16.4.

На входе размещен согласованный фильтр для одиночного видеоимпульса. Основой устройства служит многоотводная линия задержки, обеспечивающая запаздывание сигналов на отрезки времени . Сигналы со всех отводов поступают в сумматор. Легко видеть, что максимальный отклик на выходе сумматора будет наблюдаться тогда, когда полезные сигналы от всех импульсов пачки одновременно окажутся на всех его входах. Эффективность работы устройства тем выше, чем длиннее пачка.

Практически выполняемые обнаружители радиолокационных сигналов содержат также специальный нелинейный пороговый элемент, вход которого соединен с выходом сумматора согласованного фильтра.

Уровень порога несколько превышает средиеквадратическое значение шума в отсутствие полезного сигнала. Если всплеск выходного сигнала фильтра достигает порогового уровня, то на устройство индикации поступает управляющий сигнал, свидетельствующий о наличии импульса, отраженного от цели.

Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса.

Пусть выделяемый сигнал представляет собой радиоимпульс вида

(16.35)

Синтезируем согласованный фильтр для такого сигнала, используя сведения об импульсной характеристике фильтра.

Как было показано, импульсная характеристика согласованного фильтра Положим и будем считать для простоты длительность импульса кратной периоду высокочастотного заполнения, так что Тогда

Рис. 16.5. Структурная схема согласованного фильтра для прямо угольного радиоимпульса

т. е. импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до амплитудного множителя повторяет входной сигнал.

Такую импульсную характеристику можно приближенно реализовать с помощью системы, структурная схема которой приведена на рис. 16.5.

На входе фильтра размещается колебательное звено (например, высокодобротный колебательный контур) с импульсной характеристикой

где b - постоянная величина.

Для того чтобы импульсная характеристика согласованного фильтра равнялась нулю при предусмотрены сумматор, на один их входов которото сигнал с выхода колебательного звена подается непосредственно, а на другой - через звено задержки на секунд, и фазовращатель, изменяющий фазу сигнала на 180°. При таком включении элементов начиная с момента времени ко входам сумматора приложены два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами и противоположными фазами, что обращает в нуль сигнал на выходе сумматора.

Согласованный фильтр для сигнала Баркера.

В гл. 3 подчеркивалось достоинство сигналов Баркера - высокое значение главного лепестка автокорреляционной функции и предельно низкий уровень боковых лепестков.

Рис. 16.6. Структурная схема согласованного фильтра для сигнала Баркера

На рис. 16.6 изображена структурная схема согласованного фильтра, предназначенного для обнаружения М-йози-ционного сигнала Баркера с фазовым кодированием. Такой сигнал имеет вид последовательности отрезков гармонических колебаний с фазовыми сдвигами равными О или 180° (см. рис. 3.7).

При синтезе исходят из того, что импульсная характеристика согласованного фильтра должна представлять собой «зеркальную» копию выделяемого сигнала с обращенным во времени порядком следования отдельных позиций.

На входе устройства имеется вспомогательный фильтр согласованный по отношению к одной позиции сложного фазоманипулированного сигнала, т. е. к прямоугольному радиоимпульсу. На выходе этого фильтра под воздействием входного дельта-импульса возникает радиоимпульс с огибающей прямоугольной формы. Этот импульс подается на линию задержки с отводами, представляющую собой обычно волновую (распределенную) систему. Задержка во времени между отводами равна длительности Т каждой позиции сигнала.

Для правильного функционирования устройства необходимо, чтобы последовательность фазовых сдвигов (см. рис. 16.6) отвечала значениям фаз в отдельных позициях сигнала Баркера при счете от конца сигнала к началу.

Прямоугольный радиоимпульс, перемещаясь вдоль линии задержки, поочередно возбуждает входы сумматора, на выходе которого возникает «зеркальная» копия выделяемого сигнала.

Согласованный фильтр для ЛЧМ-импульса.

На практике обычно требуется не просто обнаружить сигнал, но одновременно измерить некоторые из его параметров, например положение во времени или мгновенную частоту. В этом случае предпочтение отдают сигналам с резко выраженным максимумом автокорреляционной функции.

Среди прочих сигналов, обладающих таким свойством, широко используют радиоимпульсы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-импульсы). Теория таких сигналов была изложена в гл. 4. Было показано, в частности, что если ЛЧМ-импульс вида

характеризуется большой базой , то его спектральная плотность в пределах полосы частот шириной имеет практически постоянный модуль

и аргумент, квадратично зависящий от частоты:

Отсюда вытекает требование к частотной характеристике фильтра, согласованного с ЛЧМ-сигналом: для обеспечения максимального отклика на выходе в некоторый момент времени фильтр должен иметь постоянное значение АЧХ в полосе частот и ФЧХ, описываемую формулой

Первое слагаемое в правой части выражения (16.38) обусловливает запаздывание выходного сигнала как единого целого на величину второе, квадратичное слагаемое компенсирует фазовые сдвиги между отдельными спектральными составляющими сигнала и, таким образом, обеспечивает условие их когерентного сложения на выходе.

Квадратнчность фазоиой характеристики согласованного фильтра для ЛЧМ-сигнала можно вывести из следующих качественных соображений. В процессе внутриимпульсной модуляции мгновенная частота сигнала изменяется по линейному закону на отрезке времени

Каждому моменту времени t в пределах длительности импульса отвечает свой узкополосный (квазигармонический) сигнал, который задерживается в фильтре на отрезок времени, равный групповому времени запаздывания (см. гл. 9):

Для того чтобы найти момент появления отдельных спектральных составляющих на выходе, к этому времени следует прибавить величину t, т. е. момент появления спектральных составляющих на входе. Отсюда приходим к выводу, что все спектральные составляющие ЛЧМ-сигнала появляются на выходе фильтра одновременно в момент времени

Полезный сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до произвольного амплитудного множителя к повторяет по форме автокорреляционную функцию ЛЧМ-импульса [см. формулы (4.54) и (16.22)]:

График, отвечающий такому сигналу, был приведен на рис. 4.10. Нетрудно видеть, что ширина главного лепестка этого сигнала, отсчитываемая по нулевым точкам, твых

Поэтому коэффициент сжатия ЛЧМ-импульса, обеспечиваемый согласованным фильтром: база сигнала

пропорционален базе ЛЧМ-сигнала.

Для аппаратурной реализации рассматриваемых фильтров часто используют физическое явление дисперсии упругих ультразвуковых волн в твердых телах - зависимость скорости распространения волн от частоты. Подбором соответствующего закона дисперсии волн в ультразвуковой линии задержки удается получить требуемую фазовую характеристику вида (16.38). Эскиз конструкции фильтра и дисперсионная характеристика изображены на рис. 16.7, а, б.

Согласованная фильтрация ЛЧМ-импульсов, в отличие от оптимальной обработки пачек видеоимпульсов, проводится, как правило, на основной несущей на промежуточной частоте приемника, т. е. до амплитудного детектора.

Рис. 16.7. Распределенный фильтр, согласованный с ЛЧМ-сигналом: а - схематическое устройство (1 - звукопровод, 2 - электромеханические преобразователи); б - частотная зависимость группового времени запаздывания колебаний в звукопроводе

При этом удается избежать нежелательного подавления слабого сигнала сильной помехой, которое неизбежно возникает при нелинейном преобразовании суммы сигнала и шума.

Квазиоптимальные фильтры.

В ряде случаев можно достичь удовлетворительных результатов, применив фильтры более простой конструкции по сравнению с оптимальными фильтрами. Подобные устройства принято называть квазиоптимальными фильтрами.

Рассмотрим -четырехполюсник интегрирующего типа, на входе которого одновременно действуют белый шум со спектральной плотностью мощности WQ и прямоугольный видеоимпульс, имеющий амплитуду (70 и длительность

Рис. 16.8. Ухудшение отношения сигнал/шум для RС-фильтра по сравнению с согласованным фильтром

В частности, для квазиоптимального выделения прямоугольного радиоимпульса длительностью можно применить полосовой фильтр с гауссовой частотной характеристикой, настроенный на несущую частоту. Полосу пропускания такого фильтра следует выбирать из соотношения

(16.44)

Можно показать, что проигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с оптимальным фильтром составит около 1 дБ.

Согласованные фильтры

Предположим, что на устройство обработки информации на протяжении некоторого времени действует сигнал S(t), являющийся информационным. Кроме того действует на устройство обр. информации помеха n(t), которая представляет собой белый шум с нормальным законом распределения плотности вероятности. Результирующий сигнал x(t), который принимается можно представить в виде функции неявного вида, зависящей от 2-х переменных x(t) = F(S(t),n(t)).

Линейный фильтр, на выходе которого формируется оптимальное отношение сигнал/шум при приёме детерминированного сигнала на фоне белого шума, называют согласованным фильтром. Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра (W(ω) = const = W0) можно вычислить: , где . Следует отметить, что согласованный фильтр можно использовать при приёме полностью известного сигнала на фоне помехи с произвольным спектром мощности. Для этого достаточно пропустить исследуемый сигнал через специальный линейный фильтр, который превращает помеху с произвольным спектром мощности в белый шум. Такой фильтр называют обеляющим. Частотный коэффициент передачи обеляющего фильтра:

где К – пост. коэффициент; W вх (ω ) – спектр мощности помехи на входе фильтра.
(т.е. это белый шум).

Включение обеляющего фильтра в тракт обработки сигналов изменяет частотный коэффициент передачи этого тракта.
Предположим, преобразование сигналов производилось трактом, который имел частотный коэффициент передачи K(jω) . Данный тракт дополнен обеляющим фильтром. В результате шум на выходе тракта оказался белым, но суммарный частотный коэффициент передачи этого тракта при этом изменился:

Методы синтеза оптимальных фильтров. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса спектральным методом

Существуют различные подходы к синтезу оптимальных фильтров. Наиболее эффективным методом синтеза является спектральный метод, который основан на использовании выражения для частотного коэффициента передачи фильтра:
.
Для согласованных фильтров применяют как спектральный так и временной методы синтеза. Временной метод базируется на использовании связи между импульсной характеристикой фильтра и формой фильтруемого сигнала. При этом синтез согласованного фильтра состоит в построении такого линейного устройства, импульсная характеристика которого с точностью до постоянного коэффициента воспроизводила бы с некоторым запаздыванием функцию, являющуюся зеркальным отражением сигнала. Данный метод особенно удобен для сигналов симметричной формы. Зеркальное отражение сигнала совпадает с самим сигналом, что значительно облегчает синтез согласованного фильтра.
Рассмотрим синтез фильтра спектральным методом на примере прямоугольного видеоимпульса.

С математической т.зр. модель сигнала во временной области следующая:

Найдем спектральную плотность данного сигнала. Для этого воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

Воспользуемся выражением для частотного коэффициента передачи согласованного фильтра:

Подставим в указанную формулу значение комплексно-сопряженной составляющей спектральной плотности сигнала, получим:

Полученное выражение является основой для синтеза оптимального фильтра. Предположим что максимальное отношение сигнал/шум формируется в момент окончания действия импульса на входе, т.е. t 0 =τ и. С учетом данного предположения получаем что частотный коэффициент передачи K (jω ) будущего фильтра равен:

Постоянная величина K показывает, что сигнал усиливается. Оператор 1/ jω называется оператором идеального интегрирования гармонического сигнала. Оператор показывает задержку сигнала на время t 0 .

Согласованный фильтр - линейный оптимальный фильтр, построенный исходя из известных спектральных характеристик полезного сигнала и шума. Согласованные фильтры предназначены для выделения сигналов известной формы на фоне шумов. Под оптимальностью понимается максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра, при этом форма сигнала при прохождении через фильтр изменяется.

Комплексная частотная характеристика

Для того чтобы цепь могла использоваться в качестве согласованного фильтра, КЧХ этой цепи должна быть равна произведению выражения, комплексно сопряжённого с выражением, описывающим спектр обнаруживаемого сигнала, экспоненты в степени -j*w*t0 и некоторого коэффициента, причём t0 - время достижения максимума выходным сигналом фильтра (иначе - время наблюдения сигнала).

Форма выходного сигнала

Своего максимума выходной сигнал достигает в момент окончания входного, затем за время, равное продолжительности входного сигнала, уменьшается до нуля.

Некоторые частные случаи входных сигналов

Для входного сигнала - прямоугольного импульса сигнал на выходе имеет форму треугольника с вершиной в момент окончания входного импульса. Для входного радиоимпульса (отрезка синусоиды с огибающей-прямоугольником) выходной сигнал имеет форму синусоиды с огибающей, формой аналогичной предыдущему случаю. Сложные сигналы при прохождении согласованного фильтра теряют модулированность и сжимаются по времени.

См. также

Напишите отзыв о статье "Согласованный фильтр"

Отрывок, характеризующий Согласованный фильтр

Метивье пожимая плечами подошел к mademoiselle Bourienne, прибежавшей на крик из соседней комнаты.
– Князь не совсем здоров, – la bile et le transport au cerveau. Tranquillisez vous, je repasserai demain, [желчь и прилив к мозгу. Успокойтесь, я завтра зайду,] – сказал Метивье и, приложив палец к губам, поспешно вышел.
За дверью слышались шаги в туфлях и крики: «Шпионы, изменники, везде изменники! В своем доме нет минуты покоя!»
После отъезда Метивье старый князь позвал к себе дочь и вся сила его гнева обрушилась на нее. Она была виновата в том, что к нему пустили шпиона. .Ведь он сказал, ей сказал, чтобы она составила список, и тех, кого не было в списке, чтобы не пускали. Зачем же пустили этого мерзавца! Она была причиной всего. С ней он не мог иметь ни минуты покоя, не мог умереть спокойно, говорил он.
– Нет, матушка, разойтись, разойтись, это вы знайте, знайте! Я теперь больше не могу, – сказал он и вышел из комнаты. И как будто боясь, чтобы она не сумела как нибудь утешиться, он вернулся к ней и, стараясь принять спокойный вид, прибавил: – И не думайте, чтобы я это сказал вам в минуту сердца, а я спокоен, и я обдумал это; и это будет – разойтись, поищите себе места!… – Но он не выдержал и с тем озлоблением, которое может быть только у человека, который любит, он, видимо сам страдая, затряс кулаками и прокричал ей:
– И хоть бы какой нибудь дурак взял ее замуж! – Он хлопнул дверью, позвал к себе m lle Bourienne и затих в кабинете.

Лабораторная работа № 6

по дисциплине «Основы радиоэлектроники и связи»

Тема:

«Прохождение сигналов через согласованный фильтр»

Руководитель: проф. Трофимов А. Т.

Выполнил: студент гр. № 4141 Понкин Д. О.

Дубна, 2011

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.. 3

ЗАДАЧИ.. 3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 4

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 8

2.1. Прохождение ЛЧМ сигнала через согласованный фильтр. 8

2.2. Прохождение гармонического сигнала через согласованный фильтр. 9

2.3. Прохождение прямоугольного импульса через согласованный фильтр. 10

ВЫВОДЫ.. 11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 11

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является закрепление знаний о согласованных фильтрах, используемых для обнаружения сигналов.

ЗАДАЧИ

В ходе выполнения лабораторной работы необходимо решить следующие задачи:

1. Получить модель прохождения ЛЧМ сигнала через согласованный фильтр.

2. Получить модель прохождения гармонического сигнала через согласованный фильтр.

3. Получить модель прохождения прямоугольного импульса через согласованный фильтр.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Прием радиосигналов всегда сопровождался помехами. Поэтому на протяжении всего развития радиотехники (в частности, приемных устройств) центральной проблемой была и остается борьба с помехами и шумами (далее просто шумами). В случаях, когда мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал.

Согласованный линейный фильтр

Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в радиоприемных устройствах является оптимальная линейная фильтрация, использующая линейные частотные фильтры.

В теории приемных устройств установлено, что критерий качества линейной фильтрации зависит от одной из решаемых задач: обнаружение сигнала в шумах или разрешение сигналов. При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого это отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая наилучшим). Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Коэффициент передачи оптимального фильтра приемника определим при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W 0 (хотя часто белый шум задается односторонней, т. е. в области физических частот спектральной плотностью мощности N 0 = 2W 0).

Для удобства анализа представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде

где К (ω )- АЧХ; φ k (ω ) - ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u (t )имеет спектральную плотность

(15.2)

Здесь S (ω )и φ c (ω ) - соответственно амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = t 0 , при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. Тогда сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника):

(15.3)

Поскольку S вых (ω ) = S вх (ω )K (ω ), то средняя мощность (дисперсия ) белого шума на выходе фильтра :

(15.4)

Используя выражения (15.3) и (15.4), запишем отношение выходных мощностей сигнала и шума

(15.5)

Для удобства вычислений введем эквивалентный коэффициент передачи фильтра

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (15.5). Задача нахождения оптимального коэффициента передачи К (ω ) решается на основе известного в математике неравенства Буняковского-Коши-Шварца, которое для данного случая имеет вид:

(15.7)

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

(15.8)

где А - произвольный постоянный коэффициент; - функция комплексно-сопряженная с S (ω ).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (15.8) в виде:

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра

Формула (15.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:

(15.10)

По определению частотный коэффициент передачи - безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент А должен иметь размерность, обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S (ω ).

Сущность метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника иллюстрируется рисунке 1, где соответственно показаны и обозначены: спектры входных сигнала S (ω ) и белого шума W 0 ;спектр выходного сигнала S вых (ω ) и АЧХ фильтра K (ω ); энергетический спектр выходного шума .

Рис. 1. Оптимальная фильтрация:

а - спектры входных сигнала и шума; б - спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра; в - спектр выходного шума.

Эти результаты имеют глубокий физический смысл, формула (15.10) устанавливает, что АЧХ фильтра K (ω )должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S (ω ) входного сигнала. Благодаря этому, подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра практически без ослабления и вносит основной вклад в образование его пикового значения. Из множества же спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются только те, которые находятся под кривой его АЧХ, т. е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W 0 на входе. В результате этого отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.

Соотношение (15.11), описывающее фазочастотную характеристику оптимального фильтра, можно трактовать как условие компенсации начальных фаз всех гармонических составляющих спектра сигнала. Согласно этому условию, оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоники –φ с (ω ) был равен по величине и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S (ω ) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию («обнуление» )начальных фаз всех спектральных составляющих сигнала u (t ), в результате чего образуется и пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ –ωt 0 указывает на то, что пик (максимум) выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на время t 0 . Связь между фазовой характеристикой φ с (ω ) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой -φ с (ω ) и ФЧХ фильтра поясняется рис. 2. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой:

показана на этом рисунке прямой линией.

Рис. 2. Связь между фазочастотными характеристиками фильтра и сигнала.

Таким образом, коэффициент передачи фильтра, описываемый соотношением (15.1), согласован с амплитудным и фазовым (или фазовой характеристикой) спектрами входного сигнала. Поэтому анализируемый оптимальный фильтр часто называют согласованным.

Вернемся вновь к выражению (15.5) и рассмотрим энергетические соотношения между сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Поскольку квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то, после несложных преобразований упомянутой формулы, получим:

(15.13)

Числитель в формуле (15.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э . Тогда последнее соотношение примет вид:

(15.14)