8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
Метод Квайна .
Метод основан на попарном сравнении и склеивании при возможности всех конституент (членов СДНФ). Для этого каждая конституента сравнивается с последующими, что приводит к получению импликант. Полученные импликанты вновь подвергаются сравнению и при возможности склеиваются – и т.д. до тех пор, пока оставшиеся импликанты уже не будут поддаваться склеиванию. Это и есть простые импликанты, их дизъюнкция представляет собой сокращенную ДНФ.
Для упорядочения целесообразно разбивать конституенты на группы по числу неинверсированных переменных. В этом случае каждая очередная конституента, начиная сверху, сравнивается только с конституентами группы, соседней снизу, с числом неинверсированных переменных на единицу больше.
Пусть имеется переключательная функция, заданная СДНФ:
Разобьем конституенты на группы по числу неинверсированных переменных.
Римская цифра номера группы соответствует числу неинверсных переменных. Проведем линии, указывающие склеиваемые конституенты. Результатом склеивания является всегда элементарная конъюнкция, представляющая собой общую часть исходных конъюнкций (в частности, конституент).
Полученные
импликанты также допускают склеивание,
причем в результате получается одна и
та же импликанта
.
Дальнейшие склеивания невозможны, поэтому полученные импликанты – простые, а сокращенная ДНФ имеет вид:
Первый этап выполнен. На втором этапе необходимо исключить лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной таблицы Квайна (таблицы покрытий). Строки таблицы отмечаются простыми импликантами переключательной функции, т.е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы – конституентами единицы, т.е. членами СДНФ переключательной функции.
Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной таблицы на пересечении строки данной простой импликанты и столбцов с конституентами единицы отмечается, например, знаком «+». Минимальные ДНФ строятся по импликантной таблице следующим образом:
1) ищутся столбцы импликантной таблицы, имеющие только один крестик, соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро переключательной функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ;
2) рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв.
Ядром
нашей функции (табл. 35) являются импликанты
и х 1 х 2 х 3 ,
т.е. функция имеет единственную тупиковую
и минимальную ДНФ:
Таблица 35
Импликантная таблица Квайна
|
Конституенты 1 (члены СДНФ) |
|||||||
|
импли-канты |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
Видно,
что импликанта х 2 х 3 х 4
является лишней, так как она покрывает
конституенты, уже покрытые импликантами
,
х 1 х 2 х 3 .
Число крестиков в строке является степенью числа 2; более того, можно убедиться, что оно равно N=2 n - k , где k – число букв в простой импликанте, n – число переменных, от которых зависит функция.
Если вначале не задана СДНФ, то ее надо получить, используя, например, уже известные нам методы.
Ясно, что для больших импликантных таблиц трудно визуально выявить варианты с минимальным числом букв. Поэтому используется метод Петрика, позволяющий получать все тупиковые ДНФ по импликантной таблице путем построения так называемого конъюнктивного ее представления. Для этого все простые импликанты обозначаются разными буквами (А, В, С в табл. 35), а затем для каждого столбца строится дизъюнкция всех букв, обозначающих строки таблицы, пересечение которых с данным столбцом отмечено крестиком. Конъюнктивное представление импликантной матрицы образуется как конъюнкция построенных дизъюнкций для всех столбцов. К конъюнктивному представлению импликантной таблицы могут быть применены все соотношения булевой алгебры переключательных функций с целью его упрощения. После раскрытия скобок и выполнения всех возможных поглощений получается дизъюнкция конъюнкций, каждая из которых содержит все импликанты тупиковой ДНФ.
Это
означает, что тупиковая ДНФ содержит
две простые импликанты (
и одновременно С=х 1 х 2 х 3)
и имеет вид:
Метод Квайна-Мак-Класки.
Метод представляет собой формализацию метода Квайна, ориентированную на использование ЭВМ. Формализация заключается в записи конституент единицы (членов СДНФ) их двоичными номерами. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы по числу единиц в двоичном номере. Склеивания производятся только между соседними группами. Ликвидируемый разряд обозначается знаком «–» («тире»). Дальнейшие группы из полученных импликант образуются с учетом однинакового расположения тире. Такое обозначение импликант называется обобщенными кодами. Пусть задана логическая функция
111101001000110.
Сгруппируем эти конституенты единицы по числу единиц:
Дальнейшие склеивания невозможны. Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной таблице (табл. 36):
Это означает, что тупиковые ДНФ содержат по три простые импликанты и имеют вид:
(две
инверсии);
(три
инверсии).
Таблица 36
Импликантная таблица Квайна-Мак-Класки
|
импликанты |
Конституенты единиц |
|||||||
Заметим, что склеивание двух импликант с тире возможно только при соответствующем их расположении, например:
|
|
|
|
|
Можно выбрать любую из полученных ТДНФ, а с учетом меньшего числа инверсий – первую.
Метод Блейка-Порецкого .
Метод позволяет получать сокращенную ДНФ булевой функции по ее произвольной ДНФ, а не по СДНФ, как в методах Квайна и Квайна-Мак-Класки, используя закон обобщенного склеивания . В основу метода положено следующее утверждение: если в произвольной ДНФ булевой функции провести всевозможные операции, обратные обобщенному склеиванию, а затем выполнить все поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ функции.
Пусть задана ДНФ функции:
Видно, что к первой и второй конъюнкциям можно применить закон обобщенного склеивания по переменной х 1 ; получим:
Аналогично для первой и третьей конъюнкций:
т.е. все остается, как есть!
Вторая и третья конъюнкции допускают обобщенное склеивание по х 2:
Переходим к ДНФ:
После применения закона идемпотентности (повторения) и поглощения получаем:
Попытки дальнейшего применения обобщенного склеивания и поглощения не дают результата. Следовательно, получена сокращенная ДНФ функции.
Таблица 37
Импликантная таблица для иллюстрации метода Блейка-Порецкого
|
импликанты |
Наборы функции и ее значения |
|||||||||
Таким
образом, рабочие (единичные) наборы
можно покрыть тремя простыми импликантами,
например,
,
,
.
В ядро входят импликанты
,
.
Тогда тупиковые ДНФ имеют вид:
(лучше по числу инверсий).
При проектировании цифровых автоматов широко используются методы минимизации булевых функций, позволяющие получать экономичные схемы. Общая задача минимизации булевых функций может быть сформулирована следующим образом: найти аналитическое выражение заданной булевой функции в форме, содержащей минимально возможное число букв.
В основе методов минимизации лежит операция склеивания (алгоритм объединения соседний двоичных чисел):
где А - элементарная конъюнкция.
В выражении слагаемые являются соседними двоичными числами, которые отличаются друг от друга только одним разрядом. При выполнении операции склеивания над двумя соседними числами из набора исключается одна переменная, которая отличает одно число от другого, над четырьмя попарно соседними числами - две переменные, над восемью - три переменные и т.д.
Минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ) булевой функции называется ДНФ, содержащая наименьшее число букв (по отношению ко всем другим ДНФ, представляющим заданную булеву функцию).
Минимизировать функции, то есть находить наиболее простое выражение для исходной функции можно различными методами. Все они практически различаются лишь на первом этапе - этапе получения сокращенной ДНФ. Следует отметить, что, к сожалению, поиск МДНФ всегда связан с некоторым перебором решений. Рассмотрим некоторые из них.
Минимизация сложных логических выражений с помощью матрицы Карно
Дли реализации алгоритма объединения необходимо из всей совокупности обязательных конституентов в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции алгебры логики отыскать соседние. Для отыскания соседних конституентов используются матрицы Карно, решетка соседних чисел, таблицы соседних конституентов.
Матрицы Карно целесообразно использовать для минимизации ФАЛ на наборах из 2,3,4,5 и 6 переменных. Номера столбцов в матрицах Карно образуют младшие разряды, а номера строк - старшие разряды наборов. Номера клеток составляются из номеров строк и столбцов и соответствуют наборам переменных.
Рассмотрим матрицу Карно для функции алгебры логики на наборах из 4-х переменных (табл. 1).
Таблица 1. Матрица Карно
Столбцы и строки в этой матрице обозначены двоичными соседними числами: 00-0I-II-I0. Поэтому номера смежных по горизонтали и вертикали клеток, а также крайних в строках и столбцах клеток являются соседними числами, например:
клетки с номерами и;
клетки с номерами;
клетки с номерами;
клетки с номерами.
Для минимизации функции алгебры логики, заданной в совершенной дизъюнктивной нормальной форме, с помощью матрицы Карно необходимо: подготовить матрицу Карно, вписав в клетки, соответствующие обязательным конституентам, единицы, объединить клетки с единицами в «подкубы», записать минимизированную функции алгебры логики в дизъюнктивной нормальной форме.
В «подкубы» объединяются:
- - две клетки с номерами, являющимися соседними числами, при этом исключается одна переменная;
- - четыре клетки (строка, столбец, квадрат, угловые клетки), при этом исключается две переменные;
- - восемь клеток (две соседних или крайних строки (столбца)), при этом исключается три переменные.
Для обеспечения исключения возможно большего количества переменных размеры «подкубов» должны быть как можно больше, а число их как можно меньше. С этой целью можно одну и ту же клетку с единицей использовать несколько раз, включая в различные «подкубы». Число слагаемых в минимизированной функции алгебры логики равно числу подкубов и клеток с единицами, не объединенных в подкубы.
Пусть необходимо минимизировать следующую функцию алгебры логики:
Матрица Карно, заполненная в соответствии с этой формулой, может быть представлена в виде таблицы 2:
Таблица 2. Матрица Карно
В этой матрице можно выделить два двухклеточных подкуба. В результате минимизации будет получена следующая функция алгебры логики:
Метод Квайна
Для получения минимальной формы логической функции необходимо в совершенной дизъюнктивной нормальной форме функции (СДНФ) произвести все возможные склеивания и поглощения так, что в результате будет получена сокращенная дизъюнктивная нормальная форма функции. (ДНФ).Сокращенная ДНФ в общем случае может содержать лишние простые импликанты, которые необходимо выявить на втором этапе минимизации.
На первом этапе выполняется переход от функции, заданной в форме ДНФ, к сокращенной ДНФ. Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью. Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = xi1 xi2 ... xin может быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания):
по всем недостающим переменным x ik , ..., xim исходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.
В результате выполнения склеивания получается конъюнкция n-1 ранга, а конъюнкции остаются в исходном выражении и участвуют в сравнении с другими членами СДНФ. Таким образом, удается снизить ранг термов.
Склеивание и поглощение выполняются до тех пор, пока имеются члены, не участвовавшие в попарном сравнении. Термы, подвергшиеся операции склеивания, отмечаются. Неотмеченные термы представляют собой простые импликанты и включаются в сокращенную ДНФ. Все отмеченные конъюнкции ранга n-1 подвергаются вновь операции склеивания до получения термов n-2 ранга и так далее до тех пор, пока количество неотмеченных конъюнкций больше 2. В результате выполнения первого этапа получена сокращенная ДНФ.
Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным. На втором этапе переходят от сокращенной ДНФ к тупиковым ДНФ и среди них выбирают МДНФ.
Для формирования тупиковых ДНФ строится импликантная таблица (матрица), строки которой отмечаются простыми импликантами сокращенной ДНФ, а столбцы конститутиентами единицы исходной СДНФ. В строке напротив каждой простой импликанты ставится метка под теми наборами (конститутиентами единицы), на которых она принимает значение 1. Соответствующие конститутиенты поглощаются (покрываются) данной простой импликантой.
Из общего числа простых импликант необходимо отобрать их минимальное число, исключив лишние. Формирование тупиковых форм и выбор минимального покрытия начинается с выявления обязательных простых импликант, то есть таких, которые (и только они) покрывают некоторый исходный набор. Рассмотрим на примере минимизации логической функции:
f СДНФ = V (1,2,5,6,7)=x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3
1 2 3 4 5
Выполним операцию склеивания:
- 1 - 3 (x1 ) x2 x3 1
- 2 - 4 (x1 ) x2 x3 2
- 3 - 5 (x2 ) x1 x3 3
- 4 - 5 (x3 ) x1 x2 4
В результате выполнения первого шага склеивания получаем четыре новые конъюнкции, простых импликант не выявлено. Полученные конъюнкции более не склеиваются и образуют сокращенную ДНФ.
f сокр СДНФ =x2 x3 + x2 x3 + x1 x3 + x1 x2
Для выявления обязательных простых импликант и фрормирования на их основе минимального покрытия строится импликантная таблица (таблица 3). В строках импликантгой таблицы записываются простые импликанты, а в столбцах конституэнты единицы. Звездочка ставится если простая импликанта покрывает контитуэнту.
Таблица 3. Импликантная таблица
|
x 1 x2 x3 |
X 1 x2 x3 |
x 1 x2 x3 |
x 1 x2 x3 |
x 1 x2 x3 |
|
Простые импликанты являются обязательными так как только они покрывают конституэнтыи включаются в минимальное покрытие. Остается одна непокрытая конституэнта x1 x2 x3 которая может быть покрыта одной из двух оставшихся простых импликант. Это приводит к получению двух тупиковых форм.
Метод Блейка - Порецкого
Метод позволяет получать сокращенную ДНФ булевой функции f из ее произвольной ДНФ. Базируется на применении формулы обобщенного склеивания:
справедливость которой легко доказать. Действительно,
Следовательно,
В основу метода положено следующее утверждение: если в произвольной ДНФ булевой функции f произвести все возможные oбобщенные склеивания, а затем выполнить все поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ функции f.
Рассмотрим пример. Пусть булева функция f задана произвольной ДНФ.
Необходимо используя метод Блейка - Порецкого получить сокращенную ДНФ функции f. Проводим обобщенные склеивания. Легко видеть, что первый и второй элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 1 . В результате склеивания получим:
Первый и третий элемент исходной ДНФ допускают обобщенное склеивание как по переменной х 1 , так и по х2 . После склеивания по x1 имеем:
После склеивания по x 2 имеем:
Второй и третий элемент ДНФ допускают обобщенное склеивание по переменной х 2 . После склеивания получаем:
Выполнив последнее обобщенное склеивание, приходим к ДНФ:
После выполнения поглощений получаем:
Попытки дальнейшего применения операции обобщенного склеивания и поглощения не дают результата. Следовательно, получена сокращенная ДНФ функции f. Далее задача поиска минимальной ДНФ решается с помощью импликантной матрицы точно так же, как в методе Квайна.
Минимизация не полностью определенных ФАЛ
Если при синтезе логической схемы, реализующей некоторую ФАЛ n переменных, окажется, что некоторые наборы из общего числа 2n никогда не смогут появиться на входах схемы, то данная логическая функция не определена на этих наборах. Тогда 2n наборов переменных можно подразделить на три группы: наборы, на которых функция принимает единичное значение L, нулевое значение D и группа наборов, на которых функция не определена N (неопределенные наборы). ФАЛ, содержащая неопределенные наборы, называется неполностью или частично определенной. Неопределенные наборы могут быть использованы для улучшения качества минимизации. При этом неопределенные наборы (при минимизации, например, картами Вейча, Карно) могут участвовать в образовании контуров как с единичными, так и с нулевыми наборами. Это приводит к формированию более простой минимизированной логической функции.
Универсальным методом минимизации является использование законов и соотношений алгебры логики, которые позволяют проводить минимизацию ФАЛ при любом числе переменных.
Минимизация логических функций является одной из типовых задач в процессе обучения схемотехнике. Посему считаю, что такая статья имеет место быть, надеюсь Вам понравится.
Зачем это нужно?
Сложность логической функции, а отсюда сложность и стоимость реализующей ее схемы (цепи), пропорциональны числу логических операций и числу вхождений переменных или их отрицаний. В принципе любая логическая функция может быть упрощена непосредственно с помощью аксиом и теорем логики, но, как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок.К тому же процесс упрощения булевых выражений не является алгоритмическим. Поэтому более целесообразно использовать специальные алгоритмические методы минимизации, позволяющие проводить упрощение функции более просто, быстро и безошибочно. К таким методам относятся, например, метод Квайна, метод карт Карно, метод испытания импликант, метод импликантных матриц, метод Квайна-Мак-Класки и др. Эти методы наиболее пригодны для обычной практики, особенно минимизация логической функции с использованием карт Карно. Метод карт Карно сохраняет наглядность при числе переменных не более шести. В тех случаях, когда число аргументов больше шести, обычно используют метод Квайна-Мак-Класки.
В процессе минимизации той или иной логической функции, обычно учитывается, в каком базисе эффективнее будет реализовать ее минимальную форму при помощи электронных схем.
Минимизация логических функций при помощи карт Карно
Карта Карно - графический способ минимизации переключательных (булевых) функций, обеспечивающий относительную простоту работы с большими выражениями и устранение потенциальных гонок. Представляет собой операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно можно рассматривать как определенную плоскую развертку n-мерного булева куба.Карты Карно были изобретены в 1952 Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 Морисом Карно, физиком из «Bell Labs», и были призваны помочь упростить цифровые электронные схемы.
В карту Карно булевы переменные передаются из таблицы истинности и упорядочиваются с помощью кода Грея, в котором каждое следующее число отличается от предыдущего только одним разрядом.
Основным методом минимизации логических функций, представленных в виде СДНФ или СКНФ является операция попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной. В этом случае все переменные, кроме одной, можно вынести за скобки, а оставшиеся в скобках прямое и инверсное вхождение одной переменной подвергнуть склейке. Например:
Возможность поглощения следует из очевидных равенств
Таким образом, главной задачей при минимизации СДНФ и СКНФ является поиск термов, пригодных к склейке с последующим поглощением, что для больших форм может оказаться достаточно сложной задачей. Карты Карно предоставляют наглядный способ отыскания таких термов.
Как известно, булевы функции N переменных, представленные в виде СДНФ или СКНФ могут иметь в своём составе 2N различных термов. Все эти члены составляют некоторую структуру, топологически эквивалентную N–мерному кубу, причём любые два терма, соединённые ребром, пригодны для склейки и поглощения.
На рисунке изображена простая таблица истинности для функции из двух переменных, соответствующий этой таблице 2-мерный куб (квадрат), а также 2-мерный куб с обозначением членов СДНФ и эквивалентная таблица для группировки термов:
В случае функции трёх переменных приходится иметь дело с трёхмерным кубом. Это сложнее и менее наглядно, но технически возможно. На рисунке в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб.
Как видно из рисунка, для трёхмерного случая возможны более сложные конфигурации термов. Например, четыре терма, принадлежащие одной грани куба, объединяются в один терм с поглощением двух переменных:
В общем случае можно сказать, что 2K термов, принадлежащие одной K–мерной грани гиперкуба, склеиваются в один терм, при этом поглощаются K переменных.
Для упрощения работы с булевыми функциями большого числа переменных был предложен следующий удобный приём. Куб, представляющий собой структуру термов, разворачивается на плоскость как показано на рисунке. Таким образом появляется возможность представлять булевы функции с числом переменных больше двух в виде плоской таблицы. При этом следует помнить, что порядок кодов термов в таблице (00 01 11 10) не соответствует порядку следования двоичных чисел, а клетки, находящиеся в крайних столбцах таблицы, соседствуют между собой.
Аналогичным образом можно работать с функциями четырёх, пяти и более переменных. Примеры таблиц для N=4 и N=5 приведены на рисунке. Для этих таблиц следует помнить, что соседними являются клетки, находящиеся в соответственных клетках крайних столбцов и соответственных клетках верхней и нижней строки. Для таблиц 5 и более переменных нужно учитывать также, что квадраты 4х4 виртуально находятся друг над другом в третьем измерении, поэтому соответственные клетки двух соседних квадратов 4х4 являются сосоедними, и соответствующие им термы можно склеивать.
Карта Карно может быть составлена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно - это таблица истинности составленная в 2-х мерном виде. Благодаря использованию кода Грея в ней верхняя строка является соседней с нижней, а правый столбец соседний с левым, т.о. вся Карта Карно сворачивается в фигуру тор (бублик). На пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности. После того как Карта заполнена, можно приступать к минимизации.
Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ):
Далее берём первую область и смотрим какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных, если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем то же самое что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.
Например(для Карт на 2-ве переменные):
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|||||||
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|||||||||
Для КНФ всё то же самое, только рассматриваем клетки с нулями, не меняющиеся переменные в пределах одной области объединяем в дизъюнкции (инверсии проставляем над единичными переменными), а дизъюнкции областей объединяем в конъюнкцию. На этом минимизация считается законченной. Так для Карты Карно на рис.1 выражение в формате ДНФ будет иметь вид:
В формате КНФ:
Метод применим для функций от любого числа переменных, но мы рассмотрим его для функций от 3-х переменных.
Представим в виде ДНФ с неопределенными коэффициентамиk:
(**)
В этой ДНФ представлены все возможные элементарные коньюнкции, которые могут входить в функцию, а коэффициенты kмогут принимать значения 0 или 1. Значения коэффициентов нужно выбрать так, чтобы данная ДНФ была минимальной.
Будем рассматривать данную нам функцию на всех наборах и приравнивать выражение (**) на каждом из наборов (отбрасывая нулевые конъюнкции) соответствующему значению функции. Получим систему изуравнений вида:
Если в каком-то из этих уравнений правая часть равна 0, то все слагаемые левой части тоже равны 0. Эти коэффициенты можно исключить из всех уравнений, правые части которых равны 1. В этих уравнениях значение 1 следует присвоить тому коэффициенту, который соответствует коньюнкции наименьшего ранга. Эти коэффициенты и определят МДНФ.
Пример
Составляем систему, используя выражение (**).
После исключения нулевых слагаемых получаем
Полагаем остальные коэффициенты считаем нулевыми. Получаем МДНФ:
2.2. Метод Квайна - Мак - Класки
Рассмотренный метод неопределенных коэффициентов эффективен, если число аргументов функции не больше, чем 5 – 6. Это связано с тем, что число уравнений равно 2 n . Более эффективным является выписывание не всех возможных конъюнкций для функции, а только тех, которые могут присутствовать в ДНФ данной функции. На этом основан метод Квайна. При этом предполагается, что функция задана в виде СДНФ. В данном методе элементарные конъюнкции рангаn, входящие в ДНф, называются минитермами рангаn. Метод Квайна состоит из последовательного выполнения следующих этапов.
1. Нахождение первичных импликант
Просматриваем последовательно каждый минитерм функции и производим склеивание его со всеми минитермами, с которыми это возможно. В результате склеивания минитермов n-го ранга, мы получим минитермы (n-1)-га ранга. Минитермыn-го ранга, которые участвовали в операции склеивания, помечаем. Затем рассматриваем минитермы (n-1)-го ранга и операцию склеивания применяем к ним. Помечаем склеивающиеся минитермы (n-1)-го ранга и записываем получившиеся в результате склеивания минитермы (n-2)-го ранга и т. д. Этап заканчивается, если вновь полученные минитермыl -го ранга уже не склеиваются между собой. Все неотмеченные минитермы называются первичными импликантами. Их дизъюнкция представляет собой Сокр. ДНФ функции.
Склеиваем минитермы 4-го ранга и помечаем склеивающиеся минитермы звездочками
Образуем минитермы 2-го ранга:
Первичными (простыми) импликантами являются:
2. Расстановка меток
Для данной функции Сокр. ДНФ имеет вид:
Для построения тупиковых ДНФ и Сокр. ДНФ нужно выбросить лишние интервалы. Строим таблицу, строки которой соответствуют первичным импликантам, а столбцы – минитермам СДНФ. Если в некоторый из минитерм входит какой-то из импликант, то на пересечении соответствующей строки и столбца ставится метка, например, 1.
Продолжение примера
3. Нахождение существенных импликант
Если в каком-либо столбце содержится только одна единица, то первичная импликанта, определяющая эту строку, называется существенной. Например, существенной импликантой является . Существенная импликанта не может быть удалена из Сокр. ДНФ, т. к. только она способна покрыть некоторые минитермы СДНФ. Поэтому из таблицы исключаем строки, соответствующие этим импликантам, и столбцы, имеющие единицы в этих строках.
В рассматриваемом примере исключаем строку и столбцы.
В результате получаем таблицу
4. Вычеркивание лишних столбцов и строк
Если в полученной таблице есть одинаковые столбцы, то вычеркиваем все, кроме одного. Если после этого в таблице появятся пустые строки, то их вычеркиваем.
5. Выбор минимального покрытия максимальными интервалами
В полученной таблице выбираем такую совокупность строк, которая содержит единицы во всех столбцах. При нескольких возможных вариантах такого выбора, предпочтение отдается варианту с минимальным числом букв в строках, образующих покрытие.
Продолжение примера
Минимальное покрытие таблицы образуют строки, соответствующие импликантам . Тогда МДНФ имеет вид:
В методе Квайна есть одно существенное неудобство, связанное с необходимостью полного по парного сравнивания минитермов на этапе построения Сокр. ДНФ. В 1956 г. Мак - Класки предположил модернизацию первого этапа метода Квайна, дающую существенное уменьшение количества сравнений минитермов.
Идея метода Мак - Класки заключается в следующем. Все минитермы записываются в виде двоичных номеров, например, как 1010. Эти номера разбиваются на группы по числу единиц в номере, т. е. вi-ю группу попадают номера, имеющие в своей записиiединиц. По парное сравнение производится только между соседними по номеру группами, т. к. минитермы, пригодные для склеивания, отличаются друг от друга только в одном разряде. При образовании минитермов с ранга выше нулевого, в разряды, соответствующие исключенным переменным, ставится тире.
Пример
Найдем МДНФ для функции:
Минитермы 4-го ранга по группам
Минитермы 3-го ранга
Минитермы 2-го ранга
Непомеченные минитермы или простые импликанты
Строим таблицу меток
Обе первичные импликанты существенны и определяют минимальное покрытие, т. е. МДНФ имеет вид.
для первого – X 3 X 4 ;
для второго – X 1 X 3 ;
для третьего – X 2 X 3 ;
для четвертого – X 1 X 2 X 4 ;
для пятого – X 1 X 2 X 4 ;
Минимальная ДНФ будет выглядеть так:
Сравнивая метод карт Карно с другими методами минимизации функции можно сделать вывод, что первый больше всего подходит для ручного исполнения. Время ручной работы значительно сокращается (за счет наглядного представления склеивающихся импликант). Программная реализация данного метода имеет свои сложности. Так, очень сложно будет реализовать оптимальный выбор правильных прямоугольников, особенно для большого числа аргументов.
1.3.5 Метод неопределенных коэффициентов
Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.
В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).
Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.
Система приведена на следующей странице.
Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид:
V = 1 VVVVVV = 1 VVV V VV = 1 V = 1 VVV = 1 VVVVVV = 1 VVV = 1 VVVVV = 1 VVV = 1Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты – 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).
= 1 = 1 = 1 = 1 = 1Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.
F(X 1 X 2 X 3 X 4) = X 1 X 3 V X 2 X 3 V X 3 X 4 V X 1 X 2 X 4 V X 1 X 2 X 4 .
Итак, мы получили несколькими способами минимальную ДНФ, Во всех случаях она получилась одинаковой, то есть любой из описанных методов может быть использован для минимизации функции. Однако эти методы существенно отличаются друг от друга как по принципу нахождения МДНФ, так и по времени исполнения. Для ручных расчетов очень удобен метод карт Карно. Он нагляден, не требует рутинных операций, а выбрать оптимальное расположение правильных прямоугольников не составляет большого труда. В то время как машинная реализация данного метода осложняется необходимостью нахождения оптимального расположения прямоугольников. Естественно применение других методов (метод Квайна, метод Квайна-Маккласки, метод неопределенных коэффициентов) для ручных расчетов нецелесообразно. Они больше подойдут для машинной реализации, так как содержат большое число повторяющихся простых операций.
Задание 2.
2.1 Схема алгоритма для метода Квайна
1. Начало.
2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции.
3. Проверить на склеиваемость i-ю (i=1,m-1: где m – количество строк в ДСНФ) и j-ую (j=i+1, m) строки. Если строки склеиваются, то перейти к пункту 6, в противном случае перейти к пункту 5.
4. Формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.
5. Перейти к пункту 2.
6. Строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.
7. Перейти к пункту 2.
8. Вывод полученной матрицы.
Логическая схема алгоритма в нотации Ляпунова
V H V 1 Z 1 V 2 ¯ V 3 V 4 V K
V H – начало.
V 1 – ввести матрицу ДСНФ исходной функции.
V 2 – формировать массив простых импликант, предварительно пометив символом ‘*’ ту переменную, по которой данные строки склеиваются.
V 3 – строку, которая не склеилась ни с одной другой строкой записать в конечный массив.
V 4 – вывод полученной матрицы.
Z 1 – если строки склеиваются, то перейти к пункту 3, в противном случае перейти к пункту 5.
V K – конец.
Граф-схема алгоритма.
 |
Описание машинных процедур
Procedure Stuck(S1, S2: Diz; IndexS1, IndexS2: byte);
Данная процедура склеивает два, передаваемых ей дизъюнкта. Дизъюнкты задаются в параметрах S1, S2. Индексы IndexS1, IndexS2 определяют индексы этих дизъюнктов в главном рабочем массиве. Алгоритм работы процедуры следующий: сначала ищется количество склеивающихся символов. Если их 0, то они одинаковые, и в конечный массив записывается только один из них. Если 1, то определяется местоположение символа, по которому данные две дизъюнкции склеиваются, и заменяем этот символ на ‘*’. Все полученные результаты заносятся в массив REZ.
Все остальные функции и процедуры программы связаны с действиями над массивами, то есть не имеют непосредственного отношения к данному методу нахождения МДНФ. Поэтому нет смысла их описывать.
2.2 Схема алгоритма для метода Петрика
1. Начало.
2. Ввести матрицу ДСНФ исходной функции и простые импликанты, полученные в методе Квайна.
3. Составить таблицу меток.
4. По таблице меток построить конъюнкцию дизъюнкций, каждая из которых есть совокупность тех импликант, которые в данном столбце имеют метки.
