Как решить дифференциальное уравнение
методом операционного исчисления?
На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления . Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа . Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов , который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций . Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.
Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления
состоит в следующем: функция действительной
переменной с помощью так называемого преобразования Лапласа
отображается в функцию комплексной
переменной
:
Терминология и обозначения:
функция называется оригиналом
;
функция называется изображением
;
заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа
.
Говоря простым языком, действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа , которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.
Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:
Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.
И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения , кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям).
К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде:
, где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:
То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)
Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.
Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:
Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях .
Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.
Как решить данную задачу методом операционного исчисления?
Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений . Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».
С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.
Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.
Пример 1
, ,
Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону .
Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности , поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными.
По табличной формуле №1 превращаем функцию:
По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную:
По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную:
Не путаемся в знаках!
Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.
Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.
Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:
Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование:
Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение :
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:
Для начала раскрываем скобки в левой части:
Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:
Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:
В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:
Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:
Таким образом:
Сбрасываем в знаменатель правой части:
Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь.
Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов
, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
Если возникли затруднения с , пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.
Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде:
Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:
Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений .
Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.
После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:
Было:
Стало:
Ответ: частное решение:
При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим:
Проверим выполнение начального условия :
– выполнено.
Найдём первую производную:
Проверим выполнение второго начального условия :
– выполнено.
Найдём вторую производную:
Подставим , и в левую часть исходного уравнения :
Получена правая часть исходного уравнения.
Вывод: задание выполнено правильно.
Небольшой пример для самостоятельного решения:
Пример 2
С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:
Пример 3
, ,
Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.
Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:
Теперь смотрим на правую часть: – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности
преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки: . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение:
Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через единственную дробь.
В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:
Слева выносим за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:
В левой части получен неразложимый на множители многочлен . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентов
разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Обратите внимание, как разложена дробь: , скоро поясню, почему именно так.
Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:
В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.
В результате, частное решение:
Ответ: искомое частное решение:
Похожий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.
Краткое решение и ответ в конце урока.
В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые: . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:
Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби методом неопределенных коэффициентов , и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:
Пример 5
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
, ,
Решение:
С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия :
С правой частью тоже никаких проблем:
(Напоминаю, что константы-множители игнорируются)
Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:
Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:
Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.
Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений:
То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.
В результате, операторное решение:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Таким образом, частное решение:
Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p).
Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением.
Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p)
1) стремится к нулю при в любой полуплоскости Rep = а > s0 равномерно относительно arg
Отыскание оригинала по изображению
2) интеграл
а-«сю
сходится абсолютно,
то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению.
3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений
Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа.
Пример 1. Найти оригинал для
Запишем функцию F(p) в виде
Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем
Пример 2. Найти оригинал для функции
М Запишем F(p) в виде Отсюда /
3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее
Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение
где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как
Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.
В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }