Восстановление дискретизированного сигнала с помощью ряда котельникова. Восстановление непрерывного сигнала

Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал , в спектре которого не содержится частот выше , полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, отсчитанных через интервал времени и может быть представлен рядом

.

Ряд(2) называют рядом Котельникова. Если представить (2) в следующем виде:

,

,

то (в соответствии с выражением (1) - система базисных функций, а - коэффициенты ряда.
Система базисных функций ортогональна на интервале времени , т.е.

Выражение(5) – это выражение для энергии базисной функции. При выражение (5) соответствует взаимной энергии. Т.к. взаимная энергия равна нулю, то система базисных функций ортогональна.
Каждая из базисных функций сдвинута относительно ближайшей функции и на время

,

соответствующее временному интервалу дискретизации между двумя отсчетными точками, которые иногда называют интервалом Найквиста.
Функция , изображенная на рис. 1. обладает свойством

где - любое целое положительное или отрицательное число.

Рис. 1. График базисной функции

Рис. 2 поясняет аппроксимацию непрерывного сигнала рядом Котельникова. На графике построены три члена ряда (2), соответствующие отсчетам функции в моменты времени , , . При суммировании этих членов ряда в точках отсчетов ( , , ) получаем точные значения сигнала . Следовательно, в отсчетные моменты времени непрерывный сигнал аппроксимируется точно независимо от числа взятых отсчетов, т.е. от числа членов ряда Котельникова. Между отсчетами () сигнал аппроксимируется точно только в том случае, когда суммируются все члены ряда (2) и соблюдается условие сформулированное в теореме Котельникова.

Рис. 2. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова

Согласно формуле (2) ряд Котельникова может использоваться для восстановления непрерывного сигнала без погрешностей. Однако в реальной ситуации погрешности возникают. Рассмотрим их источники.
На практике ряд Котельникова ограничен. Сигнал, ограниченный во времени приближенно описывается рядом (8), состоящим из конечного числа членов:

.

При суммировании членов ряда (8) сигнал воспроизводится точно только в точках отсчетов . В промежутках между отсчетами возникает погрешность аппроксимации, которая возникает у краев интервала , где отброшенные члены ряда имеют наибольшее значение.
Вторым источником погрешности является то, что реальные сигналы ограничены во времени и обладают, следовательно, неограниченным по частоте спектром. Однако вне некоторой полосы частот составляющие реальных сигналов обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова. Это приближение является источником погрешности.

Рис. 3. Приближенное представление сигнала, ограниченного по времени и частоте

Третьим источником погрешности является неидеальность дискретизации, заключающаяся в том, что значения соответствует не моменту времени (функция дискретизации – последовательность дельта-функций), а небольшому интервалу с длительностью (функция дискретизации – последовательность прямоугольных импульсов).

Восстановление дискретизированного сигнала с помощью степенных полиномов, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации. Виды аппроксимации, погрешность аппроксимации

При аппроксимации сигнал на каждом участке между его известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону:
· горизонтальной прямой при ступенчатой аппроксимации;
·отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной аппроксимации;
· участком параболы при параболической аппроксимации.

Разность между аппроксимированным, т.е. восстановленными и действительными промежуточными значениями функции называют погрешностью аппроксимации.

Таким образом погрешность аппроксимации определяется выражением

Погрешность от аппроксимации зависит от:
· скорости изменения ;
· способа аппроксимации;
· интервала дискретизации.
Погрешность аппроксимации увеличивается с увеличением скорости изменения сигнала, уменьшается с усложнением вида аппроксимации, увеличивается с увеличением интервала дискретизации. Примеры аппроксимации приведены на рис. 4.

Рис. 4. Примеры аппроксимации: а) исходный сигнал; б) дискретизированный сигнал; в) сигнал, восстановленный с помощью ступенчатой аппроксимации; д) сигнал, восстановленный с помощью кусочно-линейной аппроксимации; г), е) – графики погрешностей аппроксимации.

Ступенчатая аппроксимация

При ступенчатой аппроксимации используется степенной полином нулевого порядка, т.е. аппроксимация производится отрезком горизонтальной прямой, начинающимся с момента измерения, предшествующему интервалу восстановления.

Максимальное значение погрешности от аппроксимации в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения.

.

Выражение (11) может быть использовано для расчета необходимой частоты дискретизации при заданной модели сигнала.

Пример 1
Если принять для расчета модель Берштейна, которая справедлива для стационарных случайных функций с равномерным спектром в полосе частот сигнала от до , то , где - максимальное значение амплитуды сигнала.
Тогда , а приведенная погрешность аппроксимации равна

.

Тогда при заданной погрешности аппроксимации частота дискретизации равна

Т.е., при .
Таким образом при использовании модели Бернштейна при погрешности аппроксимации 1% частота дискретизации должна быть в 628 раз больше частоты сигнала.
Пример 2
Считают, что использование модели Бернштейна приводит к завышенным требованиям к частоте дискретизации. Если принять более реальную модель, когда амплитуды гармонических составляющих с номером

Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис. 4.15 показаны некоторые варианты финитных спектров.

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны (рис. 4.16). В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.

Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты
(рис. 4.16).

.

Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего ФНЧ.

Таким образом? погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

Спектры реальных сигналов не финитны.

АЧХ реальных ФНЧ неидеальны.

Рис.4.17. Структурная схема RC-фильтра

Например, если в качестве ФНЧ использовать RC-фильтр (рис.4.17), то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид, представленный на рис.4.18.

Импульсная реакция RC-фильтра равна:

.

Вывод: чем выше
и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

4.6. Квантование сообщений. Ошибки квантования

Итак показано, что передачу практически любых сообщений
можно свести к передаче их отсчетов, или чисел
, следующих друг за другом с интервалом дискретности
. Тем самым непрерывное (бесконечное ) множество возможных значений сообщения
заменяетсяконечным числом его дискретных значений
. Однако сами эти числа имеют непрерывную шкалу уровней (значений), то есть принадлежат опять же континуальному множеству. Дляабсолютно точного представления таких чисел, к примеру, в десятичной (или двоичной) форме, необходимо теоретически бесконечное число разрядов. Вместе с тем, на практике нет необходимости в абсолютно точном представлении значений
, как и любых чисел вообще.

Во-первых, сами источники сообщений обладают ограниченным динамическим диапазоном и вырабатывают исходные сообщения с определенным уровнем искажений и ошибок. Этот уровень может быть большим или меньшим, но абсолютной точности воспроизведения достичь невозможно.

Во-вторых, передача сообщений по каналам связи всегда производится в присутствии различного рода помех. Поэтому, принятое (воспроизведенное) сообщение (оценка сообщения
) всегда в определенной степени отличается от переданного, то есть на практикеневозможна абсолютно точная передача сообщений при наличии помех в канале связи.

Наконец, сообщения передаются для их восприятия и использования получателем. Получатели же информации - органы чувств человека, исполнительные механизмы и т.д. - также обладают конечной разрешающей способностью, то есть не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого сообщения. Порог чувствительности к искажениям также может быть различным, но он всегда есть.

С учетом этих замечаний процедуру дискретизации сообщений можно продолжить, а именно подвергнуть отсчеты
квантованию.

Процесс квантования состоит в замене непрерывного множества значений отсчетов дискретным множеством
. Тем самым точные значения чисел
заменяются их приблизительными (округленными до ближайшего разрешенного уровня) значениями. Интервал между соседними разрешенными уровнями, или уровнями квантования,
называетсяшагом квантования .

Различают равномерное и неравномерное квантование. В большинстве случаев применяется и далее подробно рассматривается равномерное квантование (рис. 4.19), при котором шаг квантования постоянный: ; однако иногда определенное преимущество дает неравномерное квантование, при котором шаг квантования разный для различных (рис. 4.20).

Квантование приводит к искажению сообщений. Если квантованное сообщение, полученное в результате квантования отсчета
, обозначить как , то

где - разность между истинным значением элементарного сообщения и квантованным сообщением (ближайшим разрешенным уровнем) , называемая ошибкой квантования, или шумом квантования . Шум квантования оказывает на процесс передачи информации по существу такое же влияние, как и помехи в канале связи. Помехи, так же как и квантование, приводят к тому, что оценки , получаемые на приемной стороне системы связи, отличаются на некоторую величину от истинного значения.

Поскольку квантование сообщений приводит к появлению ошибок и потере некоторой части информации, можно определить цену таких потерь
и среднюю величину ошибки, обусловленной квантованием:

Чаще всего в качестве функции потерь (цены потерь) используется квадратичная функция вида

В этом случае мерой ошибок квантования служит дисперсия этих ошибок. Для равномерного
-уровневого квантования с шагом дисперсия ошибок квантования определяется следующим образом:

Абсолютное значение ошибки квантования не превосходит половины шага квантования , и тогда при достаточно большом числе уровней квантования
и малой величине плотность распределения вероятностей ошибок квантования
можно считать равномерной на интервале + … -:

В результате величина ошибки квантования определится соотношением

и соответствующим выбором шага квантования может быть сделана сколь угодно малой или сведена к любой наперед заданной величине.

Относительно требуемой точности передачи отсчетов сообщений можно высказать те же соображения, что и для ошибок временной дискретизации: шумы квантования или искажения, обусловленные квантованием, не имеют существенного значения, если эти искажения меньше ошибок, обусловленных помехами и допустимых техническими условиями.

Для информационного расчёта в качестве исходного критерия будем использовать допустимую среднеквадратическую погрешность системы, которая определяется через погрешность отдельных узлов. В нашем случае она определяется по следующей формуле:

где - среднеквадратическая погрешность АЦП, возникающая за счёт шума квантования (погрешность квантования АЦП);

Погрешность восстановления сигнала.

Для упрощения расчётов все указанные погрешности предварительно принимаются равными. Таким образом, из формулы (1) следует, что

В соответствии с техническим заданием погрешность преобразования

1%, следовательно

Расчет разрядности АЦП

АЦП преобразуют аналоговые сигналы в цифровую форму и являются оконечными устройствами в интерфейсе ввода информации в ЭВМ. Основными характеристиками АЦП являются: разрешающая способность, точность и быстродействие. Разрешающая способность определяется разрядностью и максимальным диапазоном входного аналогового напряжения.

Относительная среднеквадратическая погрешность, вносимая за счет квантования АЦП, вычисляется по формуле

где - среднеквадратическое значение шума квантования.

Шаг квантования АЦП, определяемый диапазоном изменения сигнала U с. и числом разрядов АЦП n.

Таким образом, погрешность квантования АЦП

Из этого выражения можно определить минимально необходимую разрядность АЦП:

Исходя из,

Следовательно, минимальная разрядность АЦП для решения поставленной задачи - 6 разрядов. Но поскольку АЦП в модуле ADAM-6024 имеет 16 разрядов, то его реальная погрешность преобразования будет равна

Расчет максимально возможной погрешности восстановления

Так как в задании указано, что максимальная погрешность преобразования составляет 1%, то для удовлетворения этому условию погрешность восстановления должна быть меньше либо равна

Восстановление непрерывного сигнала U(t) с помощью интерполяционного метода

Интерполяционный метод восстановления очень широко распространён в наши дни. Этот метод наиболее приспособлен для обработки сигналов с помощью средств вычислительной техники. Этот метод восстановления основан на использовании интерполяционного многочлена Лагранжа. Из соображений простоты реализации интерполирующих устройств обычно используют многочлен не выше второго порядка, применяя в основном интерполяцию нулевого и первого порядка (ступенчатая и линейная). Восстановление сигналов с помощью ступенчатой (а) и линейной (б) интерполяции поясняется на рисунке 13.

Рисунок 13. Восстановление сигналов с помощью ступенчатой (а) и линейной (б) интерполяции

При ступенчатой интерполяции мгновенные значения U(kT) дискретного сигнала U(t) сохраняются постоянными на всём интервале дискретизации Т (рисунок 13, а).

Линейная интерполяция заключается в соединении отрезками прямых мгновенных значений U(kT), как показано на рисунке 13, б.

Интерполяционный способ восстановления обладает погрешностью, которую на практике часто выражают через максимальное относительное значение

где - восстановленный интерполяционным способом сигнал (при ступенчатой интерполяции, при линейной); - диапазон изменения дискретного сигнала U(t).

Период дискретизации выбирается с учетом допустимой погрешности из формулы.

· для ступенчатого интерполятора

· при линейной интерполяции

при параболической интерполяции

Определим период дискретизации для одного канала по Котельникову:

По заданию дипломного проекта частота процессов должна быть меньше 0,1 Гц. Модуль аналогового ввода-вывода ADAM-6024 имеет fmax = 10 Гц (на 1 канал). Так как в разрабатываемой системе используются 4 канала аналогового ввода, то предельная частота дискретизации по каждому из каналов составит fmax = 2,5 Гц. Тогда необходимая частота дискретизации при ступенчатой интерполяции составит:

Следовательно, для удовлетворения требованиям к разрабатываемой системе ступенчатая интерполяция не подходит, так как частота дискретизации при ступенчатой интерполяции существенно больше 2,5 Гц.

Частота дискретизации при линейной интерполяции составляет

Частота дискретизации при параболической интерполяции равна

Можно заметить, что частота дискретизации при линейной и параболической интерполяции меньше предельной частоты дискретизации модуля на канал. Но интерполяция второго и большего порядков практически не используют, так как её реализация усложняется, поэтому для восстановления сигналов будем использовать линейную интерполяцию.

Восстановление сигналов сводится к оценке некоторого числа неизвестных параметров полезного сигнала. Ограничимся рассмотрением случая оценки одного из параметров сигнала, например амплитуды В , при заданной форме сигнала. При этом помехи будем полагать аддитивными типа белого гауссова шума. Представим полезный сигнал в виде

где f (t) - известная функция времени; В - параметр сигнала.

Задача состоит в том, чтобы по принятой выборке Y определить, каково значение параметра В в полезном сигнале X .

В отличие от случаев обнаружения и различия сигналов здесь имеет место бесконечное множество возможных значений параметра В и, соответственно, бесконечное множество гипотез. Методы, рассматриваемые в случае двухальтернативных и многоальтернативных ситуаций, применимы и для задачи восстановления сигнала.

Произведем оценку параметра В методом максимума правдоподобия. Если отсчет принятого сигнала производится в дискретные моменты времени, то функция правдоподобия для параметра В будет равна

(2.38)

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение параметра В для которого функция правдоподобия максимальна. Максимуму функции правдоподобия соответствует минимальное значение показателя степени в выражении (2.38)

Из условия минимума

откуда получаем оценочное значение параметра

(2.39)

Осуществив переход к непрерывному примеру, получим

(2.40)

На рис. 2.3 приведена схема решающего устройства, осуществляющего операцию оценки параметра сигнала. Устройство содержит генератор сигнала f(t) , множительное звено МЗ, осуществляющее умножение y(t) на f(t) , и интегратор, производящий интегрирование произведения y(t)f(t) .

Для оценки точности восстановления сигнала используем критерий среднеквадратического отклонения. С этой целью в (2.40) принимаемый сигнал выразим в виде суммы y(t) = Bf (t) + (t) . Тогда 2.40

Рис 2.3 Устройство оценки неизвестного параметра

Погрешность восстановления

Дисперсия погрешности

Среднее от произведения представляет корреляционную функцию помехи

где G o - спектральная плотность помехи; - дельта-функция;

Следовательно, среднеквадратическое значение погрешности восстановления

Задача восстановления сигнала может быть также решена методом оптимальной фильтрации. В общем виде формулировка следующая. Пусть колебание , принятое на некотором интервале времени, является функцией от сигнала и шума :

(2.42)

Сигнал может зависеть не от одного, а от нескольких параметров , причем либо сам сигнал , либо его параметр являются случайными процессами. Вид функции , т.е. способ комбинирования сигнала и шума, и их некоторые статистические характеристики полагаются априорно известными. Исходя из них, необходимо определить структуру устройства (рис. 1), решающего оптимальным образом, какая реализация самого сигнала или его параметра содержится принятом колебании.

Рис. 2.4 Решающее устройство

Из-за наличия шума и случайного характера сигнала оценка реализаций сигнала или его параметра не будет совпадать с истинной реализацией, т.е. будут иметь место ошибки фильтрации. Для количественной оценки качества фильтрации чаще используются критерии минимума среднеквадратической погрешности, критерий максимального отношения сигнал/шум и критерий максимума апостеорной вероятности. Рассмотрим задачу линейной фильтрации, также будем предполагать, что сигнал и шум взаимодействуют аддитивно, т.е.

Остановимся в начале на критерии минимума среднеквадратической ошибки. Считаем, что сигнал и шум представляют собой стационарные нормальные, случайные процессы с известными корреляционными функциями

Необходимо определить систему, которая из принимаемой смеси

С минимальной среднеквадратической ошибкой выделяет полезный сигнал . Т.е. искомая оптимальная система должна минимизировать величину

(2.43)

Необходимо определить структуру фильтра (рис. 2.4)

При оценка на выходе системы должна предсказывать (прогнозировать) значение входного сигнала на вперед, при задача сводится к выделению (сглаживанию) сигнала из колебания .

Строгое решение данной задачи было получено А. Н. Колмогоровым и Н. Винером.

Они показали, что оптимальное устройство относится к классу линейных фильтров с постоянными параметрами. Проиллюстрируем их результаты. Предположим, что на вход физически реализуемой линейной системы (рис. 2.4) с импульсной характеристикой

(2.44)

Воздействует стационарный случайный процесс . При этом стационарный случайный процесс на ее выходе будет определяться соотношением

(2.45)

Подставляя (2.45) в (2.43) получим следующее выражение для среднеквадратичной ошибки фильтрации:

Которая после несложных преобразований приводится к виду:

Здесь - взаимная корреляционная функция процессов и

а - автокорреляционная функция случайного процесса

Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, пользуются следующим приемом вариационного исчисления. Пусть:

где - параметр, не зависящий от , а - произвольная функция. При этом условие минимума среднеквадратичной ошибки принимает вид

После подстановки (8) в (5) условие (9) принимает вид:

Последе соотношение должно выполняться при произвольной функции , отсюда следует, что импульсная характеристика должна удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма первого рода

(10)

Это уравнение является основным уравнением теории линейной фильтрации и называется уравнением Винера-Хопфа.

Таким образом, задача нахождения оптимального сглаживающего или прогнозирующего физически реализуемого фильтра сводится к решению интегрального уравнения (10). Это решение имеет определение сложности, обусловленные в основном требованием физической реализуемости оптимального фильтра. В частном, но важном с практической точки зрения случае дробно-рациональной спектральной плотности входного процесса из (10) можно получить следующее выражение для передаточной функции :

(12)

При этом минимальная среднеквадратичная ошибка фильтрации равна

(13)

где, (14)

Для частного случая сглаживания аддитивной смеси взаимно независимых стационарного случайного процесса и белого шума с функцией корреляции

Формула (11) упрощается:

Где индекс + означает, что если выражение в квадратных скобках разложить на простые дроби, то в разложении должны быть оставлены только те из них, которые соответствуют полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Все простые дроби функции , соответствующие полюсам в нижней полуплоскости, а так же целая часть должны быть отброшены. Минимальная среднеквадратичная ошибка для рассматриваемого случая может быть вычислена по формуле

Все равно практическим вычислениям по вышеуказанным формулам оказываются громоздкими. Значительное упрощение получается, если не накладывать на оптимальный фильтр требования физической реализуемости (3), т.е. полагать в (4) и в последующих формулах нижний придел равным . При этом вместо уравнения (10) получаем интегральное уравнение:

(15)

решение которого приводит к следующему выражению для передаточной функции физически нереализуемого фильтра:

(16)

Минимальная среднеквадратическая ошибка в этом случае вычисляется по формуле (13). Для частного случая статистически независимых сигнала и шума , имеющих нулевые средние значения, формула (16) приводится к виду:

Хотя последние соотношения соответствуют физически нереализуемым оптимальным фильтрам, они полезны, так как любой физически реализуемый фильтр не может дать меньшей среднеквадратической ошибки, чем фильтры, определенные выражением (16). Это объясняется тем, что наложение на фильтр условия физической реализуемости (3) сужает возможности выбора оптимальной характеристики фильтра и по этой причине привести лишь к ухудшению конечного результата.

В заключении отметим, что выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения будет иметь вид

Из которого следует, что идеальная фильтрация возможна только в случае, когда , т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются.

При выборе шага дискретизации непрерывных процессов, в частности сигналов и помех, необходимо оценить погрешность замены непрерывных процессов дискретными. В настоящем параграфе рассматриваются вопросы оценки этой погрешности.

Пусть непрерывный процесс изображается, на ЦВМ. в виде последовательности его значений в равноотстоящих точках . Ясно, что дискретный процесс лишь приближенно изображает непрерывный процесс. Требуется найти количественную меру этого приближения, т. е. найти погрешность дискретизации. Величина погрешности дискретизации, очевидно, зависит от того, что понимается под погрешностью. Определение погрешности дискретизации зависит от той задачи, в которой используется дискретный процесс вместо непрерывного. При рассмотрении некоторой конкретной задачи погрешность дискретизации целесообразно определить как величину отклонения результата ее решения при использовании дискретного процесса от результата решения этой же задачи при использовании непрерывного процесса. Поскольку задачи могут быть самыми разнообразными, то определить заранее, к чему может привести дискретизация, не представляется возможным. Поэтому обычно под погрешностью дискретизации процессов понимается та погрешность, с которой может быть восстановлен непрерывный процесс по его дискретным значениям, т. е. понимается погрешность в задаче интерполяции непрерывного процесса по дискретным точкам.

Восстановление непрерывного процесса по соответствующему ему дискретному процессу обычно можно представить как пропускание последовательности «мгновенных» импульсов (-функций) с огибающей и периодом через линейный интерполирующий фильтр (ИФ) (восстанавливающий элемент) с некоторой импульсной переходной характеристикой (интерполирующей функцией) . Этому соответствует схема восстановления, показанная на рис. 1.4. Она содержит ключ, замыкающийся в моменты времени , и интерполирующий фильтр (восстановление как процесс прерывания и сглаживания ). В результате восстановления образуется сигнал

(1.34)

В соответствии с данной схемой осуществляется восстановление процессов при наиболее распространенных видах интерполяции: ступенчатой несимметричной и симметричной (метод прямоугольников, рис. 1.5 а, б), линейной (метод трапеций, рис. 1.5, в) и др.

Ошибку интерполяции

(1.35)

можно рассматривать как выходной сигнал схемы, представленной на рис. 1.6, при воздействии на входе сигнала .

Ниже найдены достаточно простые общие выражения для корреляционной функции, энергетического спектра и дисперсии ошибки в предположении, что - стационарный центрированный случайный процесс. Из общих соотношений в качестве примеров выведены частные соотношения, соответствующие наиболее распространенным типам интерполирующих фильтров.

Аналогичная задача, но иными методами, решалась в работах . Однако в них получены более сложные, а в ряде случаев лишь частные и приближенные решения. Здесь предложен новый подход к рассматриваемой задаче, позволяющий найти ее общее точное решение, отличающееся, кроме того, тем, что из него следует простое решение задачи оптимизации характеристик интерполирующих фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки интерполяции.